POJ1845 Sumdiv 递归

最新推荐文章于 2020-05-01 21:43:20 发布

Brute Force Kevin

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分类专栏：《算法竞赛进阶指南》文章标签：题解分治

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_45508368/article/details/99656329

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该博客介绍了如何使用分治法解决POJ1845 Sumdiv问题。博主分析了将A分解质因数后，AB的约数之和的计算方法，并针对奇偶性提出了不同的求和公式。最后，提供了AC代码实现。

题目链接

http://poj.org/problem?id=1845

分析

将 $A$ 分解质因数为 $p_1 ^ {c_1} * p_2 ^ {c_2} * ... * p_n ^ {c_n}$ ，

则 $A ^ B$ 为 $p_1 ^ {B * c_1} * p_2 ^ {B * c_2} * ... * p_n ^ {B * c_n}$ ，

其约数之和为 $1 + p_1 + p_1 ^ 2 + ... + p_1 ^ {B * c_1}) * (1 + p_2 + p_2 ^ 2 + ... + p_2 ^ {B * c_2}) * ... * (1 + p_n + p_n ^ 2 + ... + p_n ^ {B * c_n})$ ，

接下来是如何快速求 $1 + p + p ^ 2 + ... + p ^ c$ ，显然使用等比数列求和公式是行不通的，可以利用分治思想：

若 $c$ 为奇数，则其等于 ${\frac{c + 1}{2}}) * (1 + p + p ^ 2 + ... + p ^ {\frac{c - 1}{2}})$ ，

若 $c$ 为偶数，则其等于 ${\frac{c}{2}}) * (1 + p + p ^ 2 + p ^ {\frac{c}{2} - 1}) + p ^ c$

AC代码

#include <cstdio>

inline int read() {
	int num = 0;
	char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9')
		num = num * 10 + c - '0', c = getchar();
	return num;
}

const int mod = 9901;

inline int qpow(int a, int b) {
	int ans = 1, x = a % mod;
	while (b) {
		if (b & 1) ans = ans * x % mod;
		x = x * x % mod, b >>= 1;
	}
	return ans;
}

inline int sum(int p, int q) {
	if (!q) return 1;
	if (q & 1) return (1 + qpow(p, q / 2 + 1)) * sum(p, q / 2) % mod;
	else return (sum(p, q - 1) + qpow(p, q)) % mod;
}

int main() {
	int a = read(), b = read(), ans = 1;
	if (a < 2) printf("%d", a);
	else {
		for (int i = 2; i * i <= a; ++i)
			if (a % i == 0) {
				int cnt = 0;
				while (a % i == 0) a /= i, ++cnt;
				ans = ans * sum(i, cnt * b) % mod;
			}
		if (a > 1) ans = ans * sum(a, b) % mod;
		printf("%d", ans);
	}
	return 0;
}