子集生成和组合问题

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子集

一个包含n个元素的集合，它的子集(包含空集)的个数为 $\large 2^{n}$ 个。

这样我们发现，子集的状况可以用二进制的概念进行对照是最直观的。

例如：n=3的集合{ $\large a_{0}$ ， $\large a_{1}$ ， $\large a_{2}$ }，他的子集和二进制数的关系如下表；

子集	∅	$\large a_{0}$	$\large a_{1}$	$\large a_{1}$ ， $\large a_{0}$	$\large a_{2}$	$\large a_{2}$ ， $\large a_{0}$	$\large a_{2}$ ， $\large a_{1}$	$\large a_{2}$ ， $\large a_{1}$ ， $\large a_{0}$
二进制数	000	001	010	011	100	101	110	111

可以看出，每个自己对应一个二进制数，这个二进制数中的每个1都对应着子集中某个元素，而且子集中元素是没有顺序的，这也可以解释为什么子集数量是 $\large 2^{n}$ 个了。

下面程序模拟该过程打印出了所有子集：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void subset(int n){
	for(int i=0;i<(1<<n);i++){    //1左移n位，为2的n次幂 
		for(int j=0;j<n;j++)		//打印一个子集，即打印i的二进制数中所有1 
		if(i&(1<<j)) cout<<j<<" ";	//从i的最低位开始拒不检查每一位，若为1，打印 
		cout<<endl;
	}	
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	subset(n);  //生成n元素所有子集的子函数 
}

若打印n个数中任意m个组合，可以对以上方法进行稍微的修改，只要找到符合1个数的子集并打印出来，即为该问题的解。

所以问题转变为查找1的个数为m的二进制数，这些二进制数就是需要打印的子集。

若是逐位判断是否为1的话，则需要检查n次，另有一个更快的方法，他可以直接定位二进制数中1的位置。用到了一个神奇的操作——kk=kk&(kk-1)，功能是消除kk的二进制数的最后一个1；连续进行这种操作，每次消除一个1，sum就统计一次，直到原数为0，sum的值就为该二进制数中1的个数。

例如：二进制数1011

1011&(1011-1)=1011&1010=1010； sum=1；

1010&(1010-1)=1010&1001=1000； sum=2；

1000&(1000-1)=1000&0111=0000； sum=3；

end~

则该数里面有3个1。

再简述一下该操作：

(1)用kk=kk&（kk-1）清除kk最后一个1；

(2)sum++；

(3)继续上述操作，直到kk=0；

在树状数组中也有一个类似的操作——lowbit(x)=x&-x，功能是计算x的二进制数的最后一个1；

下面给出求n个数中任意m个数的组合的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void Set(int n,int m){
	for(int i=0;i<(1<<n);i++){
		int sum=0,kk=i;  //sum存放该二进制数多少个1 
		while(kk){    //kk&(kk-1)操作进行消除1 
			kk=kk&(kk-1);
			sum++;
		} 
		if(sum==m){   //如果是要找的集合，输出 
			for(int j=0;j<n;j++) 
			if(i&(1<<j)) cout<<j<<" ";
		}
		if(sum==m) cout<<endl;
	}
}
int main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	Set(n,m);  //n个数里任意m个数的集合 
}

妈妈在也不怕我不会排列组合问题啦~