[USACO10MAR]伟大的奶牛聚集（树形dp）

最新推荐文章于 2024-05-28 10:00:00 发布

弹飞绵羊

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分类专栏：切题笔记文章标签：树形dp OI USACO

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本文深入探讨了树形DP算法的实现细节，通过一个具体的例子，详细解释了如何利用DP来求解树上节点间距离的最小化问题。文章首先定义了关键变量，如点权和、总代价等，然后逐步推导出DP状态转移方程，最后通过代码展示了算法的具体实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

设 $u$ 是 $v$ 的父亲， $d p [u]$ 是走到 $u$ 的总代价。
设 $t o t$ 是总点权， $c [u]$ 是 $u$ 和它的子树的点权和。
可以发现，集合点从 $u$ 变成 $v$ 的总代价变动为：
$1 : u$ 和它的子树向 $v$ 走 $(u, v) - > c [u] * (u, v)$
$2 :$ 其他的所有节点向 $u$ 走 $(u, v) - > - (t o t - c [u]) * (u, v)$
$d p [v] = d p [u] + c [u] * (u, v) - (t o t - c [u]) * (u, v)$

$L o n g l o n g$ $a l m o s t$ $k i l l e d$ $m e .$

#include<cstdio>

const int MAXN = 1e5 + 10;
int N, cnt = 0;
long long tot = 0;
long long dp[MAXN] = {0};
int c[MAXN], siz[MAXN], h[MAXN];
long long ans = 1000000000000000000;
struct E{
	int t, val, nxt;
}Ed[2 * MAXN];

void Dfs(int k, int fa)
{
	siz[k] = c[k];
	for (int i = h[k]; i; i = Ed[i].nxt)
	{
		int u = Ed[i].t; if (u == fa) continue;
		Dfs(u, k); siz[k] += siz[u];
		dp[1] += 1LL * siz[u] * Ed[i].val;
 	}
}

void Dp(int k, int fa)
{
	for (int i = h[k]; i; i = Ed[i].nxt)
	{
		int u = Ed[i].t; if (u == fa) continue;
		dp[u] = dp[k] - 1LL * siz[u] * Ed[i].val + 1LL * (tot - siz[u]) * Ed[i].val;
		Dp(u, k);
	}
}

void Add(int f, int t, int v) {Ed[++cnt].t = t, Ed[cnt].val = v, Ed[cnt].nxt = h[f], h[f] = cnt;}

long long min(long long a, long long b){return a < b ? a : b;}

int main()
{
	scanf("%d", &N);
	for (int i = 1; i <= N; i++) scanf("%d", &c[i]), tot += c[i];
	for (int i = 1; i < N; i++)
	{
		int f, t, v; scanf("%d%d%d", &f, &t, &v);
		Add(f, t, v), Add(t, f, v);
	}
	Dfs(1, 0); Dp(1, 0);
	for (int i = 1; i <= N; i++) ans = min(ans, dp[i]);
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}