可持久化线段树（主席树）学习笔记

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#可持久化 #线段树 #数据结构

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本文详细介绍了主席树的数据结构原理及实现方式，并通过一个经典例题进行深入剖析，讲解如何解决区间查询问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

$A b o u t :$ 主席树的由来
一位名字缩写为 $h j t$ 的 $D a l a o$ ~~前国家领导人~~在考场上的 $y y$

有请经典例题的 $D e s c r i b e :$
给定N个整数构成的序列，对于指定的闭区间查询其区间内的第K小值。

~~好像和可持久化毫无关系 $Q A Q$~~

我会权值线段树！

我们发现它没法维护原始区间信息。
那就让它能维护！
建立 $N$ 棵值域相同的线段树，其中 $Seg_{i}$ 储存了 $A_{[1,i]}$ 的信息。
值域相同意味着它们大小相同
于是它们的信息可以互相加减。（很重要的性质！
对于区间 $[l, r]$ ， $Seg_{r}$ 的 $[a, b]$ （值域）节点减去 $Seg_{l - 1}$ 的 $[a, b]$ 节点就可以得到 $[a, b]$ 在 $[l, r]$ 中的频率辣！
但如果我们开 $N$ 棵树
$R e s u l t$ ： $M L E$
要解决这个问题，我们需要尽量利用共同信息。
发现 $Seg_{i-1}$ 和 $Seg_{i}$ 相差的只是 $A_{i}$ 插入时经过的 $log_{2}N$ 个节点
于是我们可以共用未修改的节点!
$/ /$ 当然我们需要储存下 $Root_{i}$ 以访问每棵树 $!$
（应该没人不知道吧…但我太菜了还是要啪叽几句
就像这样：（图先咕着…反正也没人看 $/ /$ 有人看了 $C a l l$ 我吧

理解了就可以方便的写出代码

初始这样建树，函数的返回值为 $Root_{0}$

int Build(int l,int r)
{
    int now = ++cnt;
    if (l < r)
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        L[now] = Build(l,mid);
        R[now] = Build(mid + 1,r);
    }
    return now;
}

然后这样插入节点：

int Add_Node(int l, int r, int k, int val)
{
    int now = ++cnt;
    L[now] = L[k], R[now] = R[k], Sum[now] = Sum[k] + 1;
    if (l == r) return now;
    int mid = (l + r) / 2;
    if (val <= mid) L[now] = Add_Node(l, mid, L[k], val);
    else R[now] = Add_Node(mid + 1, r, R[k], val);
    return now;
}

求答案时注意：如果递归到右子树要减去 $S$

int Query(int Ra, int Rb, int l, int r, int rk)
{
    if (l == r) return l;
    int S = Sum[L[Rb]] - Sum[L[Ra]]; 
    int mid = (l + r) / 2;
    if (S >= rk) return Query(L[Ra], L[Rb], l, mid, rk);
    else return Query(R[Ra], R[Rb], mid + 1, r, rk - S);
}

别忘了离散化！（注意 $A n s$
输出 $Ans_{Query}$ 就好

bool cmp(A u, A v){return u.val < v.val;}

void init()
{
    for (int i = 1; i <= N; i++) a[i].val = x[i], a[i].pos = i;
    std::sort(a + 1, a + N + 1, cmp);
    a[0].val = -1;
    for (int i = 1; i <= N; i++) 
    {
        if (a[i].val != a[i - 1].val) RN++;
        y[a[i].pos] = RN;
        Ans[RN] = a[i].val;
    }
}