LeetCode-Day96(C++) 547. 省份数量

最新推荐文章于 2024-03-27 21:25:20 发布

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#深度优先搜索 #广度优先搜索

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该博客讨论了一个图论问题，即给定一个表示城市连接的邻接矩阵，如何计算连通分量（省份）的数量。通过深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）可以解决此问题，时间复杂度为O(n^2)。博客提供了两种算法的详细实现，并分析了它们的时间和空间复杂度。

省份数量
有 n 个城市，其中一些彼此相连，另一些没有相连。如果城市 a 与城市 b 直接相连，且城市 b 与城市 c 直接相连，那么城市 a 与城市 c 间接相连。

省份是一组直接或间接相连的城市，组内不含其他没有相连的城市。

给你一个 n x n 的矩阵 isConnected ，其中 isConnected[i][j] = 1 表示第 i 个城市和第 j 个城市直接相连，而 isConnected[i][j] = 0 表示二者不直接相连。

返回矩阵中省份的数量。

示例 1：

在这里插入图片描述

输入：isConnected = [[1,1,0],[1,1,0],[0,0,1]]
输出：2
示例 2：
在这里插入图片描述

输入：isConnected = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]
输出：3

提示：

1 <= n <= 200
n == isConnected.length
n == isConnected[i].length
isConnected[i][j] 为 1 或 0
isConnected[i][i] == 1
isConnected[i][j] == isConnected[j][i]

可以把 n 个城市和它们之间的相连关系看成图，城市是图中的节点，相连关系是图中的边，给定的矩阵 isConnected 即为图的邻接矩阵，省份即为图中的连通分量。

计算省份总数，等价于计算图中的连通分量数，可以通过深度优先搜索或广度优先搜索实现，也可以通过并查集实现。

方法一：深度优先搜索
深度优先搜索的思路是很直观的。遍历所有城市，对于每个城市，如果该城市尚未被访问过，则从该城市开始深度优先搜索，通过矩阵 isConnected 得到与该城市直接相连的城市有哪些，这些城市和该城市属于同一个连通分量，然后对这些城市继续深度优先搜索，直到同一个连通分量的所有城市都被访问到，即可得到一个省份。遍历完全部城市以后，即可得到连通分量的总数，即省份的总数。

class Solution {
public:
    void dfs(vector<vector<int>>& isConnected, vector<int>& visited, int provinces, int i) {
        for (int j = 0; j < provinces; j++) {
            if (isConnected[i][j] == 1 && !visited[j]) {
                visited[j] = 1;
                dfs(isConnected, visited, provinces, j);
            }
        }
    }

    int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
        int provinces = isConnected.size();
        vector<int> visited(provinces);
        int circles = 0;
        for (int i = 0; i < provinces; i++) {
            if (!visited[i]) {
                dfs(isConnected, visited, provinces, i);
                circles++;
            }
        }
        return circles;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：O(n^2)，其中 n 是城市的数量。需要遍历矩阵 n 中的每个元素。

空间复杂度：O(n)，其中 n 是城市的数量。需要使用数组 visited 记录每个城市是否被访问过，数组长度是 n，递归调用栈的深度不会超过 n。

方法二：广度优先搜索
也可以通过广度优先搜索的方法得到省份的总数。对于每个城市，如果该城市尚未被访问过，则从该城市开始广度优先搜索，直到同一个连通分量中的所有城市都被访问到，即可得到一个省份。

class Solution {
public:
    int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
        int provinces = isConnected.size();
        vector<int> visited(provinces);
        int circles = 0;
        queue<int> Q;
        for (int i = 0; i < provinces; i++) {
            if (!visited[i]) {
                Q.push(i);
                while (!Q.empty()) {
                    int j = Q.front(); Q.pop();
                    visited[j] = 1;
                    for (int k = 0; k < provinces; k++) {
                        if (isConnected[j][k] == 1 && !visited[k]) {
                            Q.push(k);
                        }
                    }
                }
                circles++;
            }
        }
        return circles;
    }
};