跳台阶

题目描述
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法(先后次序不同算不同的结果)。

这道题对于经常刷算法的人来说,并不算难,这里提供了两种解决方法,分别为动态规划和递归。

//递归
public int JumpFloor(int target) {
        if (target == 1 || target == 2)
            return target;
        else
            return JumpFloor(target-1) + JumpFloor(target-2);
    }
//运行时间:446ms,占用内存:9296k

//动态规划
public int JumpFloor(int target) {
        if (target == 1 || target == 2)
            return target;
        int a = 1, b = 2, temp = 0;
        for (int i=3; i<=target; i++){
            temp = a + b;
            a = b;
            b = temp;
        }
        return temp;
    }
//运行时间:18ms,占用内存:9252k

可以看出,动态规划的运行时间远低于递归时间,至于为何如此,这里提供大家阅读下面的文章,该文章详细介绍了递归和动态规划,有兴趣的可以看看。

什么是动态规划?

<think>好的,我现在需要解决用户关于跳台问题的动态规划算法实现。首先,用户提到了多个引用,其中引用[2]和[5]提到青蛙跳台的动态规划解法,而引用[1]中的代码似乎有问题,因为根据其他引用,正确的递推公式应该是f(n) = f(n-1) + f(n-2),但引用[1]中的代码返回的是2倍,这可能是个错误。我需要确认这一点。 首先,问题描述:上n级台阶,每次可以1级或2级,求总共有多少种法。根据动态规划,这个问题的状态转移方程应该是f(n) = f(n-1) + f(n-2),初始条件f(1)=1,f(2)=2。这类似于斐波那契数列。 用户提供的引用[1]中的代码使用递归,但返回的是2 * climbStairs(n-1),这明显不符合正确的递推关系。这可能是一个错误的示例,需要指出。正确的递归应该是返回climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2),但递归方法效率低,因为重复计算多。因此,动态规划方法可以通过存储中间结果来优化。 接下来,我需要根据正确的动态规划思路来给出算法实现。通常有两种方法:自顶向下的记忆化递归和自底向上的迭代。由于用户可能更关注算法实现,应该提供迭代方法,因为它更高效,时间复杂度O(n),空间复杂度可以优化到O(1)。 然后,我需要检查用户提供的引用内容,确保正确引用。例如,引用[2]和[5]正确描述了递推公式,而引用[1]的代码存在问题。在回答中需要指出这个问题,并给出正确的实现。 最后,生成相关问题时要围绕动态规划的应用、优化、变体等方面提问,确保问题相关且有价值。</think>### 跳台动态规划算法实现 #### 一、问题分析 跳台问题的核心是计算到达第$n$级台阶的方案数,每次可选择1级或2级。动态规划解法通过递推关系实现高效计算,递推公式为: $$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$$ 初始条件为: $$f(1)=1,\ f(2)=2$$ #### 二、错误代码修正 引用[1]中的代码存在逻辑错误,其递推公式应为加法而非乘法。正确逻辑应与斐波那契数列类似[^2][^5]。 #### 三、动态规划实现 ##### 1. 基础版本(空间复杂度$O(n)$) ```python def climbStairs(n): if n <= 2: return n dp = [0] * (n+1) dp[1], dp[2] = 1, 2 for i in range(3, n+1): dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] return dp[n] ``` ##### 2. 优化版本(空间复杂度$O(1)$) ```python def climbStairs(n): if n <= 2: return n a, b = 1, 2 for _ in range(3, n+1): a, b = b, a + b return b ``` #### 四、复杂度分析 1. 时间复杂度:$O(n)$ 循环次数与台阶数成线性关系 2. 空间复杂度: - 基础版:$O(n)$ - 优化版:$O(1)$
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