动态规划与分治法

动态规划与分治法

1 动态规划

动态规划的特点

• 把原始问题划分为一系列子问题
• 求解每个子问题仅一次，并将其结果保存在一个表中，以后用到时到时直接存取，不重复计算，节省计算时间
• 自底向上地计算

动态规划的核心思想

• 动态规划算法的核心就是记住已经解决过的子问题的解，后续问题不断查找之前的解得到答案

动态规划的使用范围

• 一类优化问题：可分为多个相关子问题，子问题的解被重复使用

动态规划的设计步骤

• 分析优化解的结构
• 递归地定义最优解的代价
• 自底向上地计算优化解的代价保存之，并获取构造最优解的信息
• 根据构造最优解的信息 构造优化解 (核心关键) （即获取状态转换函数）

动态规划的常用案例

动态规划具体案例

• 编号动态规划：输入为 x1, x2, …, xn，子问题是 x1,x2, …, xi 子问题复杂性为O(n)
  (最大不下降子序列问题)
• 划分动态规划：输入为x1,x2,…,xn，子问题为xi,xi+1,…,xj，子问题复杂性是O(n2)(矩阵链乘问题)
• 数轴动态规划：输入为x1,x2,…,xn和数字C，子问题为x1,x2,…,xi，K(K≤C)K(K≤C)，子问题复杂性O(nC)(0-1背包问题)
• 前缀动态规划：输入为x1,x2,…,xn和y1,y2,…,ym，子问题为x1,x2,…,x和y1,y2,…,yj，子问题复杂性是O(mn)(最长公共子序列问题)
• 树形动态规划：输入是树，其子问题为子树，子问题复杂性是子树的个数。(树中独立集合问题)

2 分治法

分治法的特点

• 分而治之，把一个复杂的问题分解成很多规模较小的子问题，然后解决这些子问题，把解决的子问题合并起来，大问题就解决了

能使用分治法的特征

• 问题缩小到一定规模容易解决
• 分解成的子问题是相同种类的子问题，即该问题具有最优子结构性质
• 分解而成的小问题在解决之后要可以合并
• 子问题是相互独立的，即子问题之间没有公共的子问题

分治法与动态规划的不同

• 分治法会用到递归的方法，不断调用原函数得到答案。
• 动态规划则不会，只是需要用到循环，通过状态转移函数得到答案。
  分治法两个例题