试除法分解质因数

最新推荐文章于 2023-04-13 21:15:52 发布

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本文介绍了一种有效的质因数分解算法——试除法。该算法通过枚举从2到根号N之间的数来查找N的所有质因数，且无需事先筛选质数。文章提供了详细的算法证明和C++实现代码，同时提到了更高级的质因数分解算法，如Miller-Rabin和Pollard-Rho。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

试除法分解质因数

实现：

${\\ \ \ \ \ \ \ \ }$ 枚举2~ $N\sqrt{\text{N}}$ 中的质数 $d\text{d}$ ，如果 $N\text{N}$ 能被 $d\text{d}$ 整除，则从 $N\text{N}$ 中将所有因子 $d\text{d}$ 除掉，并记录 $d\text{d}$ 的数量。

证明:只需枚举2~ $N\sqrt{\text{N}}$ :

${\\ \ \ \ \ \ \ \ }$ $N\text{N}$ 大于 $N\sqrt{\text{N}}$ 的质因子至多有一个，反证若有两个或以上则他们之积首先应是 $N\text{N}$ 的因子，但是却超过 $N\text{N}$ 。或者说，达不到分解的目的(因子之积等于 $N\text{N}$ )。

证明:不需要筛素数:

${\\ \ \ \ \ \ \ \ }$ 对于 $N\text{N}$ 的任意一个合数因子 $M\text{M}$ ，在枚举到它之前就已经将它从 $N\text{N}$ 中除去，因为 $M\text{M}$ 的质因子必是 $N\text{N}$ 的质因子，而这些质因子早已被枚举并除掉了。

代码:

#include<cstdio>
#include<cmath>
int p[100100],c[100100],len=0;
//p[]存入质因子,c[i]存入第i个质因子的个数 
void div(int n)
{
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)/* sqrt(n)会在线更新， 
	按照证明,数a ( sqrt(n') < a <= sqrt(n) )不需要试除 */
	{
		if(n%i==0)
		{
			p[++len]=i;
			while(n%i==0) n/=i,c[len]++;
		}
	}
	if(n>1) p[++len]=n,c[len]++;
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	div(n); 
	printf("%d = %d^%d",n,p[1],c[1]);
	for(int i=2;i<=len;i++)
			printf(" * %d^%d",p[i],c[i]);
	return 0;
}