线性筛素数

关于质数个数

       {\\ \ \ \ \ \ \ \ }       不超过$\text{N}$的质数约有$\text{N/ln N}$个。(做个记录)
       {\\ \ \ \ \ \ \ \ }       $\text{ln N}={\text{log}}_e\text{N}$

线性筛素数

证明：

       {\\ \ \ \ \ \ \ \ }       埃氏筛选法是将质数的倍数标记，但有合数被标记多次，所以还能优化。

       {\\ \ \ \ \ \ \ \ }       对于每个合数，只通过 “最小质因子 * 非自己的最大因数 = 此合数” 的途径删掉。在枚举到合数$\text{C}$前，必会枚举到 “$\text{C}$的非自己的最大因数” $\text{M}$，而$\text{C}$的最小质因子${\text{P}}_C$必小于等于$\text{M}$的最小质因子${\text{P}}_M$,（$\text{M}$的因数必是$\text{C}$的因数） 。

       {\\ \ \ \ \ \ \ \ }       所以对于每一个数$i$，枚举比它的最小质因子还小的质数${\text{P}}_j$，向上标记合数${\text{P}}_j\ast i$，那么每个合数只会被筛一次，达到线性效率。

实现：

#include<cstdio>
#include<cstring>
int p[100100],v[100100],len=0;
//p[]存入所有质数，v[i]表示i的最小质因子,同时也有判素数作用 
void Primes(int n)
{
    memset(v,0,sizeof(v));//初始化，若不被更新就是质数      
	for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(v[i]==0) { p[++len]=i; v[i]=i; }
        for(int j=1;j<=len && p[j]<=v[i] && p[j]*i<=n;j++)//枚举质数 
        	v[i*p[j]]=p[j]; //枚举质数要小于最小质因子 ；不超过范围 
    }
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	Primes(n);
	for(int i=1;i<=len;i++) printf("%d ",p[i]);
	return 0;
}