[蓝桥杯] 付账问题

付账问题

题目

几个人一起出去吃饭是常有的事。

但在结帐的时候，常常会出现一些争执。

现在有 n 个人出去吃饭，他们总共消费了 S 元。

其中第 i 个人带了 ai 元。

幸运的是，所有人带的钱的总数是足够付账的，但现在问题来了：每个人分别要出多少钱呢？

为了公平起见，我们希望在总付钱量恰好为 S 的前提下，最后每个人付的钱的标准差最小。

这里我们约定，每个人支付的钱数可以是任意非负实数，即可以不是 1 分钱的整数倍。

你需要输出最小的标准差是多少。

标准差的介绍：标准差是多个数与它们平均数差值的平方平均数，一般用于刻画这些数之间的“偏差有多大”。

形式化地说，设第 i 个人付的钱为 bi 元，那么标准差为 :

输入格式

第一行包含两个整数 n、S；

第二行包含 n 个非负整数 a1, …, an。

输出格式

输出最小的标准差，四舍五入保留 4 位小数。

数据范围

$$\begin{gathered} 1\le n\le 5\times 105 \\ 0\le ai,S\le 109 \end{gathered}$$

输入样例

10 30
2 1 4 7 4 8 3 6 4 7

输出样例

0.7928

题解

思路

• 首先算出平均值 s/n，把数据从小到大排序
• 如果某个人的钱低于该值，那么他将钱全部支付，然后其余不够的其他人平摊

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 5 * 1e5 + 20;
int n;
double a[N], b[N], S;

int main () {
    cin >> n >> S;
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    sort(a, a + n);
    
    double avg = (double)S / n;
    int start = 0;
    while (S > 0) {
        for (int i = start; i < n; i ++) {
            if (a[i] <= avg) {
                b[i] += a[i], S -= a[i], a[i] = 0;
                start = i + 1;
            }
            else {
                b[i] += avg, S -= avg, a[i] -= avg;
            }
        }
        avg = S / (n - start);
    }
    
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++) sum += b[i];
    avg = sum / n, sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++) sum += (b[i] - avg) * (b[i] - avg);
    printf("%.4lf", sqrt(sum / n));
    
    return 0;
}

题解二

• 来源：AcWing 1235. 付账问题

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 500010;

int n;
int a[N];

int main()
{
    double s;
    scanf("%d%lf", &n, &s);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
    sort(a, a + n);

    double res = 0, avg = s / n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        double cur = s / (n - i);
        if (a[i] < cur) cur = a[i];
        res += (cur - avg) * (cur - avg);
        s -= cur;
    }

    printf("%.4lf\n", sqrt(res / n));

    return 0;
}