剑指Offer [Python] | 9 变态跳台阶

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今天是第9题 —— 变态跳台阶。

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铺垫一下这道题，

第7题「斐波那契数列」是基础；
第8题「跳台阶」承上启下；
第9题「变态跳台阶」是进阶。

强烈建议，练习本题之前参考「斐波那契数列」和「跳台阶」的解题。

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题目

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

一、启发于「斐波那契数列」

• 思路

1. 我们回顾一下「斐波那契数列」和「跳台阶」

无论是用 递归 还是 递推的方法，计算斐波那契数列的关键都是一样的 —— 找出「通式」。

斐波那契数列的通式是， f(n) = f(n-1) + f(n-2)；
跳台阶的通式也是一样的，但是初始值根据题意略有不同。

2. 那「变态跳楼梯」的通式是什么呢？

1 级台阶，有f(1) = 1种方法；
2 级台阶，有f(2) = f(1) + 1种方法；
3 级台阶，有f(3) = f(1) + f(2) +1种方法；
4 级台阶，有f(4) = f(1) + f(2) + f(3)+1种方法；
……
n 级台阶，有f(n) = 1+ f(1) + f(2) + f(3) + …… + f(n-1)

• Python 实现

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        l = [1, 1]
        while number >= len(l):
            l.append(sum(l))
        return l[number]

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二、把通项公式再归纳一下

• 思路

在刚刚的思路上，把通项公式再整理一下：

1 级台阶，有f(1) = 1种方法；
2 级台阶，有f(2) = f(1) + 1 = 2 * f(1)种方法；
3 级台阶，有f(3) = f(1) + f(2) + 1 = 2 * f(2) 种方法；
4 级台阶，有f(4) = f(1) + f(2) + f(3) + 1 = 2 * f(3)种方法；
……
n 级台阶，有f(n) = 2 * f(n-1)

• Python 实现

 -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        if number == 1:
            return number
        else:
            return 2*self.jumpFloorII(number-1)