数字游戏

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题目描述

丁丁最近沉迷于一个数字游戏之中。这个游戏看似简单，但丁丁在研究了许多天之后却发觉原来在简单的规则下想要赢得这个游戏并不那么容易。游戏是这样的，在你面前有一圈整数（一共n个），你要按顺序将其分为m个部分，各部分内的数字相加，相加所得的m个结果对10取模后再相乘，最终得到一个数k。游戏的要求是使你所得的k最大或者最小。
例如，对于下面这圈数字（n=4，m=2）：

当要求最小值时，((2-1) mod 10)×((4+3) mod 10)=1×7=7，要求最大值时，为((2+4+3) mod 10)×(-1 mod 10)=9×9=81。特别值得注意的是，无论是负数还是正数，对10取模的结果均为非负值。
丁丁请你编写程序帮他赢得这个游戏。

输入

输入文件第一行有两个整数，n（1≤n≤50）和m（1≤m≤9）。以下n行每行有个整数，其绝对值不大于104，按顺序给出圈中的数字，首尾相接。

输出

输出文件有两行，各包含一个非负整数。第一行是你程序得到的最小值，第二行是最大值。

样例输入

样例输出

详细思路

该题要我们得出如何划分才能得到最大值。

如果我们知道了每段区间的最大值，再据此比较某间隔是划分了大还是不划分大，从而确定该间隔是否需要划分，就可以得到最大的划分方式了。

通过求多个小区间的情况，从而合并信息，得到大区间，满足最优子结构和无后效性，所以此题可用区间dp做。

用区间dp做，我们要求的其实是以i为起点j为终点的区间的最大值f[i][j]。

首先注意到的是该题是一个圆环，且数组里的各个数都要轮流当起点，以比较出最优解。

那如何实现呢？——在数组后面将其内容复制一遍，截取时截取数组长度实现区间。

当我们选定一个起点后，接下来要做的就是算出以该数为起点的长度为n的区间dp最大值f[i][j][n]。

而要得到f[i][j][n],则需遍历找出每一个断点在哪最优。

由于每断一次，剩下的仍是一个区间，则可比较（f[i][t][n-1] * w[t][j]）与 f[i][j][n]的大小，以判断要不要断t。

代码实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{
	int n, m, maxn, minn = 0x7fffffff, i, j, k, t;
	cin>>n>>m;//输入区间长度n与断点数m 
	int a[102], s[102], w[101][101], 
	int fmax[51][105][11], fmin[51][105][11]; 
	//关于 memset() : int是32位，由4个8位的01位组成。memset(a, b, c)中，如果b=0，则表示01位上都是0，数值小，可用来初始化最小。如果b=127，则表示7个01位上是1，数值大，可用来初始化最大。之所以不用b=1，是因为第一位是用来判断正负的，1为负，0为正。
	memset(fmin, 127, sizeof(fmin)); 
	memset(fmax, 0, sizeof(fmax));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		a[i+n] = a[i];//将数组复制在其后，满足圆环属性 
	} 
	for(i=1;i<=n*2;i++)//注意范围是[1,2*n]
	{
		s[i] = (s[i-1] + a[i]) % 10;//得出0-i的f[0][i][1]，存入s[i]，以便后续计算，防止重复计算 
	}

	//！！！（接下来的循环是重点，找了很久的错！）为什么不直接用fmax[i][j][1]，而要加个w[i][j]？因为在53行里，[t+1]超出了50，用fmax[i][j][1]会超出数组范围从而报错。也可以将fmax[51][105][11]改为fmax[105][105][11]，则不需要添加w[i][j]，直接用fmax[i][j][1]就行。
	for(int i=1;i<2*n;i++)
	{
    	for(int j=i;j<2*n;j++)
    	{
    		w[i][j] = (s[j] - s[i-1] + 1000000) % 10; //（+1000000）是为了转化负数，这一步不太严谨，当数据很大时，1000000可能不够用。也可改成其他方法，此方法在此题数据中没问题。
    	}
    }
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=i;j<i+n;j++)
		{
			fmax[i][j][1] = w[i][j]; //遍历得fmax[i][j][1]; 
			fmin[i][j][1] = w[i][j]; //遍历得fmin[i][j][1]; 
		}
	 } 

	//循环计算将f[i][j]分成k段，得出最优，即求f[i][j][k]，K无需从1开始
	for(k=2; k<=m; k++) 
	{ 
		for(i=1;i<=n;i++)//轮流选择起点i，注意起点范围是<=n
		{
			for( j=i;j<i+n;j++)//终点j 
			{
				//当区间的长度不够分时（如两个数分成三份），直接跳过该情况。
				if(j-i+1<k) continue; 
				for( t=i;t<j;t++)
				{
					fmax[i][j][k] = max(fmax[i][j][k], (fmax[i][t][k-1] * w[t+1][j]));
					if(fmin[i][t][k-1]<2000000000)//如果不加这步，过程中数据会爆
					{
						fmin[i][j][k]=min(fmin[i][j][k], (fmin[i][t][k-1]*w[t+1][j]));
					}
				}
				
			} 
		} 
	}
	maxn=fmax[1][n][m];
	minn=fmin[1][n][m];
	for(i=2;i<=n;i++) 
    {
        maxn=max(maxn, fmax[i][i+n-1][m]);
        minn=min(minn, fmin[i][i+n-1][m]);
    }
    cout<<minn<<endl<<maxn<<endl;
	return 0;
}

代码截图