计算机基础-浮点数

1. 浮点数

浮点数在计算机中是由二进制表示，一个浮点数如1.0f在计算机中表示为。浮点数的基本结构为：

阶符 + 阶码 + 尾符 + 尾数

  在这里，e表示为阶码，阶码前的为阶符，由0、1表示，m为尾数，m前的符号位为尾符。

以float类型为例：float类型为4字节，前一个字节中，第一位为阶符，其余7位为阶码。因此阶码范围为-127- 127；后3个字节中，第一个位为隐藏位，第二位为尾符，其余位表示尾数。隐藏位0、1也表示为正负，当隐藏位和尾符不一致时表示需要进行规格化。

浮点数运算的步骤：

1. 0操作数检查： 对两操作数进行0操作数检查，一个操作数为0，可减少不必要的运算。
2. 对阶：当两操作数的阶码不相等时，需要进行对阶，阶码不一致，表示两操作数的小数点位置不一致。规则：小阶对齐大阶。尾数向右移动一位，阶码+1；这时候，尾数向右移动的过程中会导致尾数的有效精度丢失。
3. 尾数求和运算：对尾数进行求和运算。
4. 结果规格化：规格化要求：，m为尾数，即当一个尾数为0.0001时需要左移使得尾数为0.1。当隐藏位与符号位不一致时，也需要进行规格化。规则：尾数左移，阶码 -1。
5. 舍入处理：在对阶或向右规格化时，尾数要向右移位，这样，被右移的尾数的低位部分会被丢掉，从而造成一定误差，因此要进行舍入处理。

   在IEEE754标准中，舍入处理提供了四种可选方法：

   就近舍入其实质就是通常所说的"四舍五入"。例如，尾数超出规定的23位的多余位数字是10010,多余位的值超过规定的最低有效位值的一半，故最低有效位应增1。若多余的5位　是01111,则简单的截尾即可。对多余的5位10000这种特殊情况：若最低有效位现为0,则截　尾；若最低有效位现为1,则向上进一位使其变为 0。

   朝0舍入 即朝数轴原点方向舍入，就是简单的截尾。无论尾数是正数还是负数，截尾都使取值的绝对值比原值的绝对值小。这种方法容易导致误差积累。

   朝+∞舍入 对正数来说，只要多余位不全为0则向最低有效位进1；对负数来说则是简单的截尾。

   朝－∞舍入 处理方法正好与 朝+∞舍入情况相反。对正数来说,只要多余位不全为0则简单截尾；对负数来说，向最低有效位进1。

6. 溢出处理：溢出是对于阶码溢出的处理：

   浮点数的溢出是以其阶码溢出表现出来的。在加\减运算过程中要检查是否产生了溢出：若阶码正常，加（减）运算正常结束；若阶码溢出，则要进行相应处理。另外对尾数的溢出也需要处理（上溢，尾数右移，阶码+1）。

   阶码上溢 超过了阶码可能表示的最大值的正指数值，一般将其认为是+∞和－∞。

   阶码下溢 超过了阶码可能表示的最小值的负指数值，一般将其认为是0。

   尾数上溢 两个同符号尾数相加产生了最高位向上的进位，将尾数右移，阶码增1来重新对齐。

   尾数下溢 在将尾数右移时，尾数的最低有效位从尾数域右端流出，要进行舍入处理。

如上所示，在浮点数的结构和运算过程中可知，有效精度位和运算过程中的规格化和舍入处理可知，浮点数的运算并不一定精确而是存在误差。因此在Java中对于浮点数进行运算需要能够接受其误差，不能接受其误差可使用Decimal类来进行运算。另外，切忌对浮点数结果进行等值判断，因为该结果存在误差。