算法进阶面试题07——求子数组的最大异或和（前缀树）、换钱的方法数（递归改dp最全套路解说）、纸牌博弈、机器人行走问题

第一题

给定一个数组，求子数组的最大异或和。

一个数组的异或和为，数组中所有的数异或起来的结果。

 

简单的前缀树应用

 

暴力方法:

 

 

先计算必须以i结尾的子数组的异或和，然后再计算机i+1的，以此类推...

 

最暴力的解

    public static int getMaxEor1(int[] nums) {
        int maxEor = Integer.MAX_VALUE;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            for (int start = 0; start <= i; start++) {
                int curEor = 0;
                for (int k = start; k <= start; k++) {
                    curEor ^= nums[k];
                }
                Math.max(maxEor, curEor);
            }
        }
        return maxEor;
    }

 

怎么优化？

 

异或的运算法则为：0⊕0=0，1⊕0=1，0⊕1=1，1⊕1=0（同为0，异为1），这些法则与加法是相同的，只是不带进位，所以异或常被认作不进位加法。

0~i = eor

0~start-1 = eor2

strart~i = eor^eor2

例如

1 0 0 1 1 1 0 1 1 eor

1 0 0 1 1 0 0 0 0 eor2

0 0 0 0 0 1 0 1 1

 

优化方案，准备一个dp辅助数组记录结果。（增加空间）

    //记忆化搜索优化（利用之前的计算结果）
    public static int getMaxEor2(int[] nums) {
        int maxEor = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[nums.length];
        int eor = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            eor ^= nums[i];
            Math.max(maxEor,eor);
            for (int start = 0; start <= i; start++) {
                int curEor = eor ^ dp[start - 1];
                Math.max(maxEor,curEor);
            }
            dp[i] = eor;
        }
        return maxEor;
    }

 

结论：

 

 

O（n）的方法

思路：求以i结尾，异或和最大的子数组。0~i、1~i、2~i全部计算出来得到结果，效率很低。

黑盒直到i，里面存了0~0、0~1、0~2...0~i-1的结果，0~i的结果在eor时刻更新的，i希望黑盒可以告诉他，这里面哪个值和eor异或出来最大，那就是答案。

例如eor和0~3异或和是最大的，那么以i结尾的，4~i就是最大的。

 

 

黑盒可以告诉你，0~start ^ eor(0~i) 是最大的，就能得出start^i是最大的。

黑盒用前缀树做，以4位二进制举例，假设0~0、0~1、0~2的值，分别加入到前缀树中

假设求以3结尾情况下，最大异或和，0~3异或结果为0010，我特别希望异或后符号位还是0，后面的尽量1，所以就在前缀树里面寻找适合的路。

 

 

符号位尽量为0，后面的位是0走1，1走0，没得选就将就着走，尽量保持最大化值。

按前缀树的走法，每次选最优，可以找到最大值。

 

符号位为1的情况下，求补码，取反再加一

例如：

1 1 1 1

1 0 0 0 + 1

-1

1 0 1 1

1 1 0 0 + 1

-5

当符号位是1的时候，希望选1的路，让其1^1变成0，除了符号位选择的路有讲究之外，不管正负，接下来的选择是一样的，后面的位尽量都变成1。

所以选择符号位的时候，希望是和符号位的值是一样的，1选1,0选0

 

    public static class Node {//前缀树节点
        public Node[] nexts = new Node[2];//只有两个路，0/1
    }

    public static class NumTrie {//前缀树
        public Node head = new Node();

        public void add(int num) {
            Node cur = head;
            //位移，整数是31位
            for (int move = 31; move >= 0; move--) {
                //提取出每个进制里面的数字
                //例如：0101 >> 3 = 0
                //在和1进行与运算
                //0 0 0 0
                //0 0 0 1
                //0 0 0 0 //取出了第一位为0
                int path = ((num >> move) & 1);
                //查看是否有路，没有就新建
                cur.nexts[path] = cur.nexts[path] == null ? new Node() : cur.nexts[path];
                cur = cur.nexts[path];
            }
        }

        //num 0~i eor结果，选出最优再返回
        public int maxXor(int num) {
            Node cur = head;
            int res = 0;
            for (int move = 31; move >= 0; move--) {
                int path = (num >> move) & 1;
                //如果考察符号位希望和path是一样的 1^1=0 0^0=0
                //其他位置，希望是相反的 1^0=1 0^1=1
                int best = move == 31 ? path : (path ^ 1);//期待
                best = cur.nexts[best] !=