贪心（二）：排序不等式、绝对值不等式、推公式

排序不等式

例题：排队打水

有 n 个人排队到 1 个水龙头处打水，第 i 个人装满水桶所需的时间是 titi，请问如何安排他们的打水顺序才能使所有人的等待时间之和最小？

输入格式

第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数，其中第 i 个整数表示第 i 个人装满水桶所花费的时间 ti。

输出格式

输出一个整数，表示最小的等待时间之和。

数据范围

1≤n≤105
1≤ti≤104

输入样例：

7
3 6 1 4 2 5 7

输出样例：

56

解题思路：

 

 

解题代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=100010;

int n;//表示总人数
int t[N];//每个同学打水时间

int main()
{
    //先把所有的数读进来
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&t[i]);
    
    //从小到大排序
    sort(t,t+n);
    
    LL res=0;
    for(int i=0;i<n;i++) res+=t[i]*(n-i-1);
    
    printf("%lld\n",res);
    
    return 0;
    
}

绝对值不等式

例题：货仓选址

在一条数轴上有 N 家商店，它们的坐标分别为 A1∼AN

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

输入格式

第一行输入整数 N。

第二行 N 个整数 A1∼AN

输出格式

输出一个整数，表示距离之和的最小值。

数据范围

1≤N≤100000
0≤Ai≤40000

输入样例：

4
6 2 9 1

输出样例：

12

解题思路：

 

 

解题代码：

 

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
int q[N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);

    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);

    sort(q, q + n);

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) res += abs(q[i] - q[n / 2]);//n/2是中位数

    printf("%d\n", res);

    return 0;
}

推公式

例题：耍杂耍的牛

农民约翰的 N 头奶牛（编号为 1..N）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。

奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：

叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。

奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。

这 N 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 Wi 以及自己的强壮程度 Si。

一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为风险值，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。

您的任务是确定奶牛的排序，使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。

输入格式

第一行输入整数 N，表示奶牛数量。

接下来 N 行，每行输入两个整数，表示牛的重量和强壮程度，第 ii 行表示第 ii 头牛的重量 Wi以及它的强壮程度 Si。

输出格式

输出一个整数，表示最大风险值的最小可能值。

数据范围

1≤N≤50000
1≤Wi≤10,000
1≤Si≤1,000,000,000

输入样例：

3
10 3
2 5
3 3

输出样例：

2

解题思路：

 

解题代码： 

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 50010;

int n;
PII cow[N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int s, w;//s:强壮值，w：重量
        scanf("%d%d", &w, &s);
        cow[i] = {w + s, w};
    }

    sort(cow, cow + n);

    int res = -2e9, sum = 0;//sum：每头牛上面牛的重量之和
    //计算每头牛的危险系数
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        //算下当前的w与s
        int s = cow[i].first - cow[i].second, w = cow[i].second;
        //求下当前牛的危险系数
        res = max(res, sum - s);
        //加上当前重量
        sum += w;
    }

    printf("%d\n", res);

    return 0;
}