等差数列前n项和公式的推导与应用-优快云博客

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以下是为6分钟试讲设计的逐字稿，内容聚焦等差数列前n项和公式的推导与应用：

开场互动（30秒）
“同学们好！今天我们要一起探索一个数学中的经典问题——等差数列前n项和的计算。先问大家一个小问题：如果小明每天存钱，第一天存2元，之后每天比前一天多存3元，到第10天时他一共存了多少钱呢？答案稍后揭晓！”

知识点回顾（1分钟）
“在解决这个问题之前，我们先回忆等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，我们称它为等差数列。这个常数叫做公差，记作d。比如数列1,3,5,7,…就是一个公差d=2的等差数列。”

公式推导（3分钟）
步骤1：故事引入（1分钟）
“说到等差数列求和，不得不提数学家高斯的故事。据说他10岁时，老师让全班计算1+2+3+…+100。高斯迅速发现规律：1+100=101，2+99=101……共50组，因此答案是50×101=5050。这就是首尾配对法的思想！”

步骤2：一般化推导（2分钟）
“现在我们把这种方法推广到一般等差数列。假设前n项和为Sₙ，那么：
Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ
根据等差数列性质，aₖ + aₙ₋ₖ₊₁ = a₁ + aₙ（如第2项+倒数第2项=首项+末项）。
将数列正反两次相加：
2Sₙ = (a₁+aₙ) + (a₂+aₙ₋₁) + … + (aₙ+a₁) = n(a₁+aₙ)
所以 Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 ——这就是我们的核心公式！
再结合通项公式aₙ=a₁+(n-1)d，还能变形为 Sₙ = n[2a₁+(n-1)d]/2。”

例题应用（1分钟）
“回到小明存钱的问题：已知a₁=2元，d=3元，求前10项和。
解法1：先求a₁₀=2+9×3=29元，S₁₀=10×(2+29)/2=155元；
解法2：直接用变形公式：S₁₀=10×[2×2+9×3]/2=155元。两种方法殊途同归！”

互动练习（30秒）
“现在请大家动手算一个题：等差数列首项a₁=5，公差d=2，求前5项和。
（停顿5秒）
没错，a₅=5+4×2=13，S₅=5×(5+13)/2=45。你算对了吗？”

总结与作业（30秒）
“今天我们通过高斯的故事推导了等差数列前n项和公式，并解决了实际问题。记住两个关键公式：
Sₙ = n(a₁+aₙ)/2
Sₙ = n[2a₁+(n-1)d]/2
课后作业：用两种方法计算数列3,7,11,…前20项的和。下节课我们再见！”

试讲设计亮点：