凝望，划过星空的博客

上文中，我们学习了《信号与系统》的第十章——z变换。这是我们学院教学大纲所要求的最后一章内容。因此，这将是本系列专栏的最后一篇课程笔记啦！但是文章却不止于此，平时关于信号与系统的一些思考我也会继续发上这个专栏的噢！那么下面我们先回顾一下关于z变换，我们之前都说了啥：1. 常见的z变换对【1】必须要记得的两个z变换对：anu[n]a^nu[n]anu[n] 的z 变换为：11−az−1\frac{1}{1 - az^{-1}}1−az−11​，ROC为：∣z∣>∣a∣|z| > |a|∣z.

文章目录一、z变换的引入二、一些常用的 z 变换对三、z 变换 ROC 的性质三、z 变换的性质一、z变换的引入首先，我们来看看DTFT的公式：X(ejω)=∑n=−∞+∞x[n]e−jωn x[n]=12π∫2πX(ejω)ejωndωX(e^{jω}) = \sum_{n = -∞}^{+∞}x[n]e^{-jωn}\\\space\\x[n] = \frac{1}{2π}\int_{2π}X(e^{jω})e^{jωn}dωX(ejω)=n=−∞∑+∞​x[n]e−jωn&nbsp

在开始本文的学习之前，大家需要记忆两种特殊形式的信号所对应的拉氏变换以及其对应的 ROC 区域：信号 x(t)=e−atu(t)x(t) = e^{-at}u(t)x(t)=e−atu(t)，其拉氏变换为：X(s)=1s+aX(s) = \frac{1}{s+ a}X(s)=s+a1​，ROC为：Re{s}>−aRe\{s\} > -aRe{s}>−a（也就是以 σ=−aσ = -aσ=−a 为轴右边的所有区域）信号 x(t)=−e−atu(−t)x(t) = -e^{-at}u.

文章目录一、信号的收敛域与零极点图的关系二、拉普拉斯变换的特点2.1 线性性2.2 时移性2.3 S域平移一、信号的收敛域与零极点图的关系如果信号的拉普拉斯变换是：X(s)X(s)X(s)，假设它是一个有理的（即可以表示成两个多项式的比值）：X(s)=N(s)D(s)X(s) = \frac{N(s)}{D(s)}X(s)=D(s)N(s)​令 N(s)=0N(s) = 0N(s)=0，求出来的解是 X(s)X(s)X(s) 的零点。令 D(s)=0D(s) = 0D(s)=0，求出的解是 X(s)

在此之前，我想重新回顾一下理想采样的频谱特征，同样地，先看看框图：这里是两个时间信号在时域上的相乘运算。根据傅里叶变换的特性：x(t)s(t) F↔ 12π∫−∞+∞X(jθ)S(j(ω−θ))dθx(t)s(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space \frac{1}{2π}\int_{-∞}^{+∞}X(jθ)S(j(ω - θ))dθx(t)s(t) F​ 2π1​∫−∞+∞​X(jθ)S(j(ω−

文章目录一、理想采样1.1 理想采样流程分析1.2 如何从理想采样中恢复原始信号？1.3 频谱混叠和奈奎斯特采样定律二、利用内插由样本重建信号2.1 理想带限内插2.2 零阶保持内插2.3 一阶保持内插一、理想采样1.1 理想采样流程分析所谓的理想采样，就是利用间隔为 TsT_sTs​ 的单位冲激串序列和输入的连续时间信号相乘。可以用下面的框图来表示：其中，TsT_sTs​ 就是我们所说的采样周期。在时域上，这个框图用信号波形可以这样表述：刚刚我们所表示的这种理想采样，在频域上可以这样画：

当我们学习到离散时间非周期信号的傅里叶变换的时候，我们已经走到了频域分析的尾声。回顾之前所学，我们发现，其实连续时间和离散时间的傅里叶变换是有诸多相似之处的，但是两者之间却又有某些重大的不同。那么，下面我们就一起来看看 DTFT。文章目录一、基本公式二、离散时间傅里叶变换的收敛性三、常见信号的 DTFT3.1 单边指数信号：anu[n]a^nu[n]anu[n]3.2 单位冲激函数3.3 ...

文章目录一、离散傅里叶级数 DFS 的引入二、DFS 的性质三、DFS 与 LTI 系统一、离散傅里叶级数 DFS 的引入其实，大家如果已经熟悉了连续时间周期信号的傅里叶级数的表示形式：x(t)=∑k=−∞+∞akejkω0tx(t) = \sum_{k=-∞}^{+∞}a_ke^{jkω_0t}x(t)=k=−∞∑+∞​ak​ejkω0​t那么，其实 DFS 就只是直接类比过来就行了。只...

文章目录一、时域卷积定理二、频域卷积定理（时域相乘）2.1 应用：正弦幅度调制三、计算系统冲激响应 h(t) 的方法3.1 频率响应 H(jω) 与系统结构的关系一、时域卷积定理我们先给出定理：两个时域信号做卷积，就等价于它们的频谱做乘法。即：若：x(t) F↔ X(jω);y(t) F↔ Y(jω)x(t)\space \underleftright...

文章目录1. 线性2. 时移 —— 时域延迟等价于频谱旋转3. 频移 —— 频谱搬移问题4. 共轭对称性1. 线性这个和周期信号的傅里叶级数是类似的，我们下面给出定义：若 x(t) F↔ X(jω);y(t) F↔ Y(jω)x(t)\space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space X(jω); \quad...

文章目录一、傅里叶正变换、逆变换1.1 能够进行傅里叶变换的条件1.2 连续时间的周期信号频谱和非周期信号频谱的关系1.3 几种常见信号的傅里叶变换（记忆）1.3.1 非周期矩形信号的频谱：一、傅里叶正变换、逆变换在之前的 BlogBlogBlog 里面，我们都已经进行过了推导。我们这里再一次简洁地推一下下：对于下面这样的周期矩形信号，我们可以有下面的结论：ak=1T∫−T1+T1x(t...

虽然之前我的 BlogBlogBlog 里面也有涉及到傅里叶变换的文章，但是都感觉有点零星，今天打算祭出一篇长文，详细地剖析傅里叶变换的本质，从零开始推导傅里叶变换。文章目录一、从正弦波的合成说起1.1 复傅里叶级数的引入以及求解1.2 复傅里叶级数的意义——频谱二、周期信号的频谱（线谱）三、非周期信号的频谱（连续谱）四、线谱与连续谱的关系五、傅里叶变换的本质——频谱密度一、从正弦波的合成...

在这一篇 BlogBlogBlog 中，博主打算记录一下周期信号傅里叶级数的一些重要性质。在阅读本文之前，请明确一件事情：对于周期信号我们讲的是傅里叶级数展开。对于非周期信号我们讲傅里叶变换。文章目录一、什么样的周期信号才能够做傅里叶展开？二、周期信号傅里叶级数的重要性质2.1 线性2.2 时移特性2.3 尺度变换2.4 傅里叶级数的反转一、什么样的周期信号才能够做傅里叶展开？当时傅里叶...

我们在之前的学习中知道，单位冲激函数是一类奇异函数。我们来回顾一下单位冲激函数的操作性定义：x(t)=x(t)∗δ(t)x(t) = x(t) * δ(t)x(t)=x(t)∗δ(t)也就是说，任何一个信号与单位冲激函数做卷积的结果还是这个信号本身。那么我们下面再引入其他的一些奇异函数。u1(t)u_1(t)u1​(t)：我们对他的操作性定义是：dx(t)dt=x(t)∗u1(t)\frac{dx(t)}{dt} = x(t) * u_1(t)dtdx(t)​=x(t)∗u1​(t)也就是说，

相比于前两篇 BlogBlogBlog 中关于卷积物理意义以及性质的讨论，这篇 BlogBlogBlog 重点归纳卷积计算的技巧和方法。以连续时间信号的卷积计算为主，因为离散情况下很简单，慢慢滑动一个个对应着来就OK。因为连续时间信号的卷积涉及积分，对上下限的考量需要对卷积定义比较清晰才行典型例题来袭在着手开始分析第一个例子之前，我们回顾一下连续信号的卷积公式：y(t)=∫−∞+∞x(τ)...

文章目录一、卷积计算的基本性质二、系统基本性质和卷积的关系2.1 记忆性和卷积2.2一、卷积计算的基本性质二、系统基本性质和卷积的关系2.1 记忆性和卷积还记得无记忆系统的定义吗：无记忆系统，就是指系统在某一时刻 ttt 的输出，仅仅取决于该 ttt 时刻的输入，与其他时刻的输入无关。2.2...

“卷积”—— 无论是在数字信号处理、统计学、还是如今大热的卷积神经网络CNN，都能找到它的身影，除了会用，会计算，它背后真正的原理，由来，你是否搞清楚了呢？这篇 Blog 带给你答案！

系统的分类是未来学习的基础，尤其是线性性以及时不变性，基于这两个性质的系统是《信号与系统》课程的研究重点。

文章目录一、四类典型信号1.1 连续时间和离散时间的指数信号1.2 连续时间和离散时间的正弦信号1.3 连续时间和离散时间的单位冲激信号和单位阶跃信号1.3.1 单位冲激函数的作用：1.4 Sa信号（sinc信号）一、四类典型信号1.1 连续时间和离散时间的指数信号【Part1Part 1Part1】：连续时间首先，表达式就是：x(t)=Ceatx(t) = Ce^{at}x(t)=Cea...

这是《信号与系统》网上授课的第一次笔记，主要记录一下自己对信号分类以及信号变换的一些理解。P.S：在《信号与系统》这门课中会经常用到 MatlabMatlabMatlab 仿真，我会将全部仿真代码放到 githubgithubgithub 上文章目录一、信号的分类1.1 确定信号和不确定信号1.2 离散时间信号和连续时间信号1.3 周期信号和非周期信号1.4 能量信号和功率信号二、信号的变...