洛谷 P1472 奶牛家谱 Cow Pedigrees

最新推荐文章于 2020-08-26 09:16:10 发布

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分类专栏：树形结构

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该博客介绍了洛谷P1472题——奶牛家谱Cow Pedigrees，讨论了如何解决奶牛家谱结构的问题。给定奶牛数量N和树高度K，寻找不同家谱结构的数量，要求结构不同。博主分享了思路，通过调整状态转移方程，使用“差分”的思想求解，最后给出代码实现。

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洛谷 P1472 奶牛家谱 Cow Pedigrees

题目描述

农民约翰准备购买一群新奶牛。在这个新的奶牛群中, 每一个母亲奶牛都生两个小奶牛。这些奶牛间的关系可以用二叉树来表示。这些二叉树总共有N个节点(3 <= N < 200)。这些二叉树有如下性质:

每一个节点的度是0或2。度是这个节点的孩子的数目。

树的高度等于K(1 < K < 100)。高度是从根到最远的那个叶子所需要经过的结点数; 叶子是指没有孩子的节点。

有多少不同的家谱结构? 如果一个家谱的树结构不同于另一个的, 那么这两个家谱就是不同的。输出可能的家谱树的个数除以9901的余数。

输入输出格式

输入格式：

两个空格分开的整数, N和K。

输出格式：

一个整数，表示可能的家谱树的个数除以9901的余数。

输入输出样例

输入样例#1：

5 3

输出样例#1：

输入样例#2：

199 77

输出样例#2：

3114

思路

这题真是很不好想。要求得出节点数为 N，高度为 K 的“家谱树”数目。如果设这个数目为 f[n][k]的话，那么实在是难以利用子问题得出它的数值。事实上这种设计状态的方法难以想出方程的原因可能就是因为“高度为 k”的条件太严格。如果我们将 f[n][k]定义为“节点数为 n，高度不大于 k”的家谱树数目，那么我们可以得到如下方程：f[n][k]=sum{f[l][k-1]*f[n-1-l][k-1]}。最后的答案就是 f[N][K]–f[N][K-1]。不妨认为这是一种“差分”的思想。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=205;
const int mod=9901;
int n,m;
int dp[MAXN][MAXN];

inline int read()
{
    int X=0; bool flag=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') flag=0; ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') {X=(X<<1)+(X<<3)+(ch^'0'); ch=getchar();}
    if(flag) return X;
    return ~(X-1);
}

int main()
{
	n=read(); m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i) dp[1][i]=1;
	for(int k=1;k<=m;++k)
	    for(int i=3;i<=n;i+=2)
	        for(int j=1;j<i;j+=2)
	            dp[i][k]=(dp[i][k]+dp[j][k-1]*dp[i-j-1][k-1])%mod;
	printf("%d",(dp[n][m]-dp[n][m-1]+mod)%mod);
	return 0;
}