P1622 问题解决：区间动归与记忆化搜索解析-优快云博客

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博客详细分析了P1622释放囚犯的问题，指出这是一个区间动归问题，并提供了区间动归的一般模板。通过画图解释了转移方程，接着给出了采用记忆化搜索的解决方案，解释了如何使用lower_bound和upper_bound在给定区间内找到可释放的犯人数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

LOG P1622 释放囚犯

传送门（洛谷）

题目描述：
在这里插入图片描述输入数据：

20 3
3 6 14

输出数据：

分析：

容易看出，每次给犯人吃肉都是一个区间，则很容易得出此题为一个区间动归
区间动归的一般模板：f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k-1]+f[k+1][j]+…)
这里的f[i][j]是表示放出i号到j号的犯人最少给的肉，而我们找中介点k的时候，是已经将i,j号的犯人放出了的，则有k号没有放出，所以最终的转移方程应是这个区间的人数减去自己，则为:
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k-1]+f[k+1][j]+a[j+1]-a[i-1]-1-1);
可以动手画一下图

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define don(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);i--)
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
const int maxm=1e3+10;
int n,m;
int a[maxn],f[maxm][maxm];

template <class t> inline void read(t &x)
{
    int f=1;x=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
    x*=f;
}
/*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------*/

void readdata()
{
	read(n),read(m);
	rep(i,1,m) read(a[i]);
}

void work()
{
	sort(a+1,a+1+m);
	a[0]=0;a[m+1]=n+1;
	rep(l,1,m) {
		for(register int i=1;i+l-1<=m;i++) {
			int j=i+l-1;
			f[i][j]=INT_MAX;
			for(register int k=i;k<=j;k++)
			f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k-1]+f[k+1][j]+a[j+1]-a[i-1]-1-1);
		}
	}
	printf("%d\n",f[1][m]);
}

int main()
{
	freopen("input.txt","r",stdin);
	readdata();
	work();
	return 0;
}

给出记忆化搜索版的：
枚举区间人数 $l, r$
用 $lower_~bound和upper~bound$ 找出在这个区间中有多少个可以放的人

解释为什么 $u p p e r b o u n d (a + 1, a + m + 1, r) - a - 1$
我们是在找区间 $l - r$ 的小于 $r$ 的数，如果用 $u p p e r b o u n d$ 则可能不存在，移到后面一下标，因此超出了 $r$ 的范围

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define don(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);i--)
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
const int maxm=1e3+10;
int n,m;
int a[maxn],f[maxm][maxm];

template <class t> inline void read(t &x)
{
    int f=1;x=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
    x*=f;
}
/*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------*/

void readdata()
{
	read(n),read(m);
	rep(i,1,m) read(a[i]);
}

inline int dfs(int l,int r) {
	if(f[l][r]!=-1) return f[l][r];
	if(l>r) return 0;
	int x=lower_bound(a+1,a+1+m,l)-a;
	int y=upper_bound(a+1,a+1+m,r)-a-1;
	if(x>y) return 0;
	f[l][r]=INT_MAX;
	rep(i,x,y) f[l][r]=min(f[l][r],dfs(l,a[i]-1)+dfs(a[i]+1,r)+r-l);
	return f[l][r];
}

void work()
{
	sort(a+1,a+1+m);
	memset(f,-1,sizeof(f));
	a[0]=0;a[m+1]=n+1;
	printf("%d\n",dfs(1,n));
}

int main()
{
	freopen("input.txt","r",stdin);
	readdata();
	work();
	return 0;
}