FOC之Clarke变换和Park变换

FOC坐标变换

这里简述FOC中用到的用到的Clarke和Park坐标变换所涉及到的公式，想要更加详细了解可自行百度。

1. Clarke变换（3s/2s）

$$N_3:三相绕组每相绕组匝数$$

$$N_2:两相绕组每相绕组匝数$$

各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其相关空间矢量均位于有关相的坐标轴上。设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在Alpha和Beta轴上的投影都应相等，因此
$$N_2{i}_2=N_3{i}_A-N_3{i}_{B}cos60-N_3{i}_{C}cos60=N_3(i_A-\frac{1}{2}{i}_B-\frac{1}{2}{i}_C)$$

$$N_2{i}_2=N_3{i}_{B}sin60-N_3{i}_{C}sin60=\frac{\sqrt{3}}{2}{N}_3(i_B-i_C)$$
考虑变换前后总功率不变，可得匝数比应为
$$\frac{N_3}{N_2}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$

则Clarke变换：

Clarke反变换：

如果三相绕组是Y形联结不带零线，则有
$$i_A+i_B+i_C=0$$
则有：


进行标幺化（以$\sqrt{\frac{2}{3}}$为基准值）：
$$i_{\alpha }=i_A$$

$$i_{\beta }=(i_A+2i_B)/\sqrt{3}$$

2. Park变换（2s/2r）

两个交流电流 $i_{\alpha }$ 、$i_{\beta }$ 和两个直流电流 $i_d$ 、$i_q$ ，产生同样的以同步转速 ${\omega }_1$旋转的合成磁动势$F_s$

$d$、$q$轴和矢量 $F_s(i_s)$都以转速 ${\omega }_1$ 旋转，分量 $i_d$、$i_q$ 的长短不变。$\alpha$轴与 $d$轴的夹角 $\omega$ 随时间变化

由图可见，$i_{\alpha }$、$i_{\beta }$和$i_d$、$iq$之间存在下列的关系
$$i_{\alpha }=i_{d}cos\theta -i_{q}sin\theta$$

$$i_{\beta }=i_{d}sin\theta +i_{q}cos\theta$$

写成矩阵的形式为：

坐标系变换矩阵为：