校验码——CRC循环冗余校验码，码距，例题

最新推荐文章于 2025-04-09 23:04:18 发布

Ujig

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分类专栏：软考知识点笔记

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校验码——码距 https://blog.youkuaiyun.com/weixin_44330072/article/details/106860286

校验码——奇偶校验码 https://blog.youkuaiyun.com/weixin_44330072/article/details/106859838

校验码——海明码及码距 https://blog.youkuaiyun.com/weixin_44330072/article/details/106695425

其实校验码就是在码距的原理上产生的，码距越大校验能力，纠错能力越强，所以奇偶校验码、海明码、CRC码究其原理都是利用一系列规则提升一段码字的码距而已。

一、循环冗余校验码

在串行传送（磁盘、通讯）中，广泛采用循环冗余校验码（CRC）。CRC也是给信息码加上几位校验码，以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力。
CRC的理论很复杂，一般书上只介绍已有生成多项式后计算校验码的方法。检错能力与生成多项式有关，只能根据书上的结论死记。
循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为 N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。
校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。

几个基本概念

1、多项式与二进制数码
多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。
多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。
如生成多项式为 $G(x)=x^{4}+x^{3}+x+1$ ，可转换为二进制数码11011。
而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为 $C(x)=x^{3}+x^{2}+x+1$ 。
2、生成多项式
是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。
在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。
应满足以下条件：
a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。
b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。
c、不同位发生错误时，应该使余数不同。
d、对余数继续做模2除，应使余数循环。
将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：

N	K	码距d	G(x)多项式	G(x)
7	4	3	$x^{3}+x+1$	1011
7	4	3	$x^{3}+x^{2}+1$	1101
7	3	4	$x^{4}+x^{3}+x^{2}+1$	11101
7	3	4	$x^{4}+x^{2}+x+1$	10111
15	11	3	$x^{4}+x+1$	10011
15	7	5

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