查找--平衡二叉树（VAL树）

最新推荐文章于 2025-04-01 15:29:39 发布
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本文深入探讨了二叉排序树中VAL树的平衡调整机制，重点介绍了通过旋转操作实现树的平衡，包括右旋的具体步骤，是理解VAL树动态平衡原理的重要资料。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

二叉排序树的平衡有多种算法，如红黑树，VAL数等，本章主要介绍VAL树。
VAL树的平衡通过旋转来实现，以右旋为例。

//P为根节点；L为左子树根节点；
void R_rotate(TreeNode P)
{
  TreeNode L=P.left;//L是旋转后新的根节点，最终L的右子树指向原节点P；
  P.left=L.right;//L的原右子树作为P的左子树
  L.right=P;//L的右子树指向原节点P；
  P=L;//P指向新的根节点。
}

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木_工
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### 二叉查找树与平衡二叉树的区别 二叉查找树（Binary Search Tree, BST）是一种基于二叉树的数据结构，其核心特性是：对于树中的任意一个节点，其左子树上的所有节点值均小于该节点的值；而其右子树上的所有节点值均大于该节点的值[^3]。这种性质使得二叉查找树能够支持高效的查找、插入和删除操作。此外，对二叉查找树进行中序遍历可以得到一个递增有序的序列。 平衡二叉树（Balanced Binary Tree），又称 AVL 树，是由 Adelson-Velsky 和 Landis 提出的一种自平衡二叉查找树。它在二叉查找树的基础上增加了额外的约束条件，即每个节点的左右子树高度差不能超过 1，从而保证整棵树的高度保持在 $O(\log n)$ 级别[^1]。这一特性显著提高了查找效率，确保了最坏情况下的性能稳定。 #### 性能差异 - **二叉查找树** 在理想情况下，当树是一棵完全二叉树时，大多数操作的时间复杂度为 $O(\log n)$。然而，在最坏的情况下，比如输入数据已经排序，树会退化成链表形式，导致操作效率下降至 $O(n)$。 - **平衡二叉树** 通过旋转操作维持树的平衡性，即使在频繁插入或删除操作后也能保持较低的高度，因此查找、插入和删除操作的时间复杂度始终保持在 $O(\log n)$ 级别[^1]。 #### 实现复杂度 - **二叉查找树** 的实现相对简单，只需要满足左子树节点值小于当前节点值，右子树节点值大于当前节点值即可。 - **平衡二叉树** 需要在每次插入或删除操作后检查并调整树的平衡状态，可能涉及单旋（LL、RR）或双旋（LR、RL）等操作，增加了实现的复杂度。 #### 应用场景 - **二叉查找树** 更适合于数据分布较为均匀且不需要频繁更新的场景。 - **平衡二叉树** 则更适合于需要高效查找、插入和删除操作的场景，尤其是在数据动态变化较大的环境中。 ### 示例代码 以下是一个简单的二叉查找树的插入操作实现： ```cpp struct TreeNode { int val; TreeNode *left; TreeNode *right; TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {} }; TreeNode* insert(TreeNode* node, int key) { if (node == nullptr) { return new TreeNode(key); } if (key < node->val) { node->left = insert(node->left, key); } else if (key > node->val) { node->right = insert(node->right, key); } return node; } ``` 平衡二叉树的插入操作则需要额外的旋转操作来维护平衡，例如： ```cpp int height(TreeNode* node) { if (node == nullptr) return 0; return max(height(node->left), height(node->right)) + 1; } TreeNode* rotateRight(TreeNode* y) { TreeNode* x = y->left; TreeNode* T2 = x->right; x->right = y; y->left = T2; return x; } TreeNode* insertAVL(TreeNode* node, int key) { if (node == nullptr) return new TreeNode(key); if (key < node->val) node->left = insertAVL(node->left, key); else if (key > node->val) node->right = insertAVL(node->right, key); else return node; int balance = height(node->left) - height(node->right); if (balance > 1 && key < node->left->val) return rotateRight(node); // 其他旋转操作类似... return node; } ``` ###
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