查找--平衡二叉树(VAL树)

本文深入探讨了二叉排序树中VAL树的平衡调整机制,重点介绍了通过旋转操作实现树的平衡,包括右旋的具体步骤,是理解VAL树动态平衡原理的重要资料。

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二叉排序树的平衡有多种算法,如红黑树,VAL数等,本章主要介绍VAL树。
VAL树的平衡通过旋转来实现,以右旋为例。

//P为根节点;L为左子树根节点;
void R_rotate(TreeNode P)
{
  TreeNode L=P.left;//L是旋转后新的根节点,最终L的右子树指向原节点P;
  P.left=L.right;//L的原右子树作为P的左子树
  L.right=P;//L的右子树指向原节点P;
  P=L;//P指向新的根节点。
}

在这里插入图片描述

### 二叉查找平衡二叉树的区别 二叉查找(Binary Search Tree, BST)是一种基于二叉的数据结构,其核心特性是:对于中的任意一个节点,其左子上的所有节点值均小于该节点的值;而其右子上的所有节点值均大于该节点的值[^3]。这种性质使得二叉查找能够支持高效的查找、插入和删除操作。此外,对二叉查找进行中序遍历可以得到一个递增有序的序列。 平衡二叉树(Balanced Binary Tree),又称 AVL ,是由 Adelson-Velsky 和 Landis 提出的一种自平衡二叉查找。它在二叉查找的基础上增加了额外的约束条件,即每个节点的左右子高度差不能超过 1,从而保证整棵的高度保持在 $O(\log n)$ 级别[^1]。这一特性显著提高了查找效率,确保了最坏情况下的性能稳定。 #### 性能差异 - **二叉查找** 在理想情况下,当是一棵完全二叉时,大多数操作的时间复杂度为 $O(\log n)$。然而,在最坏的情况下,比如输入数据已经排序,会退化成链表形式,导致操作效率下降至 $O(n)$。 - **平衡二叉树** 通过旋转操作维持的平衡性,即使在频繁插入或删除操作后也能保持较低的高度,因此查找、插入和删除操作的时间复杂度始终保持在 $O(\log n)$ 级别[^1]。 #### 实现复杂度 - **二叉查找** 的实现相对简单,只需要满足左子节点值小于当前节点值,右子节点值大于当前节点值即可。 - **平衡二叉树** 需要在每次插入或删除操作后检查并调整的平衡状态,可能涉及单旋(LL、RR)或双旋(LR、RL)等操作,增加了实现的复杂度。 #### 应用场景 - **二叉查找** 更适合于数据分布较为均匀且不需要频繁更新的场景。 - **平衡二叉树** 则更适合于需要高效查找、插入和删除操作的场景,尤其是在数据动态变化较大的环境中。 ### 示例代码 以下是一个简单的二叉查找的插入操作实现: ```cpp struct TreeNode { int val; TreeNode *left; TreeNode *right; TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {} }; TreeNode* insert(TreeNode* node, int key) { if (node == nullptr) { return new TreeNode(key); } if (key < node->val) { node->left = insert(node->left, key); } else if (key > node->val) { node->right = insert(node->right, key); } return node; } ``` 平衡二叉树的插入操作则需要额外的旋转操作来维护平衡,例如: ```cpp int height(TreeNode* node) { if (node == nullptr) return 0; return max(height(node->left), height(node->right)) + 1; } TreeNode* rotateRight(TreeNode* y) { TreeNode* x = y->left; TreeNode* T2 = x->right; x->right = y; y->left = T2; return x; } TreeNode* insertAVL(TreeNode* node, int key) { if (node == nullptr) return new TreeNode(key); if (key < node->val) node->left = insertAVL(node->left, key); else if (key > node->val) node->right = insertAVL(node->right, key); else return node; int balance = height(node->left) - height(node->right); if (balance > 1 && key < node->left->val) return rotateRight(node); // 其他旋转操作类似... return node; } ``` ###
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