Python笔记之：树

树：树时非线性解构，每个元素可以有多个前驱和后继

树是n(n>=0)个元素的集合：当n等于0时，称为空树，树只有一个特殊的没有前驱的元素，称为树的根Root。。。树中除了根节点外，其余元素只能有一个前驱，可以有零个或者多个后继

递归定义：树（Tree）是n（n>=0）个元素的集合，n=0是空树，有且只有一个特殊元素根，剩余元素都可以被划分为m个互不相交的集合T1,T2,T3…Tm,而每个集合都是树，称为T的子树Subtree，子树也有自己的根

树的概念：

1. 结点：树中的数据元素就是结点
2. 结点的度degree：结点拥有的子树的数目称为度，记作d)(v).
3. 叶子结点：结点的度为0时，称为叶子结点leaf，终端结点，末端结点
4. 分支结点：结点的度不为0，称为非终端结点或者分支结点
5. 分支：结点之间的关系就是分支
6. 内部结点：除根结点外的分支结点当然也包括叶子结点
   
7. 树的度是树内各结点的度的最大值，D结点度最大为3，树的度数就是3
8. 孩子（儿子Child）结点：结点的子树的根结点称为该结点的孩子
9. 双亲（父Parent）结点：一个结点是它各子树的根结点的双亲
10. 兄弟（Sibling）结点：具有相同双亲结点的结点
11. 祖先结点：从根结点到该结点所经分支上所有的结点，A,B,D都是G的祖先结点
12. 子孙结点：结点的所有子树上的结点都称为该结点的子孙。B的子孙是D,G,H,I
13. 结点的层次（Level）：根结点为第一层，根的孩子为第二层，以此类推，记作L（v）
14. 树的深度（高度Depth）：树的层次的最大值。上图深度为4
15. 堂兄弟：双亲在同一层的 结点
16. 有序树：结点的子树是有顺序的，（兄弟有大小，先后次序），不能交换
17. 无序树：结点的子树是有无序的，可以交换
18. 路径：树中的k个结点n1、n2、…、nk，满足ni是n(i+1)的双亲，成为n1到nk的一条路径。就是一条线串下来的，前一个都是后一个的父（前驱）结点。
19. 路径长度 = 路径上的结点树 -1
20. 森林：m(m≥0)棵不相交的树的集合对于结点而言，其子树的集合就是森林。A结点的2棵子树的集合就是森林

树的特点：

1. 只有一个根 唯一的根，子树不能相交，除了根以外，每个元素只能有一个前驱，可以有零个或者多个后继
2. 根结点没有双亲结点（前驱），叶子结点没有孩子结点（后继）
3. vi是vj的双亲，则L(vi) = L(vj)-1,也就是说双亲比孩子结点的层次小 1
4. 堂兄弟的定义是：双亲结点时同一层的结点，上图G和J是堂兄弟，因为它们的双亲结点D和E在第三层，依然是堂兄弟，

二叉树

1. 每个结点最多2课子树：二叉树不存在度数大于2的结点
2. 它是有序树，左子树，右子树是顺序的，不能交换次序
3. 即使某个结点只有一颗子树，也要确定它是左子树还是右子树

二叉树的5中基本形态

1. 空二叉树
2. 只有一个根结点
3. 根结点只有右子树
4. 根结点只有右子树
5. 根结点有左子树和右子树

斜数：

6. 左斜树，所有的结点都只有左子树
7. 右斜树，所有的结点都只有右子树

满二叉树：

8. 一棵二叉树的所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子结点只存在在最下面一层。
9. 同样深度二叉树中，满二叉树结点最多。
10. k为深度（1≤k≤n），则结点总数为2^k-1
11. 如下图，一个深度为4的15个结点的满二叉树
    

完全二叉树Completa Binary Tree

1. 若二叉树的深度为k，二叉树的层数从1到k-1层的结点数都达到了最大个数，在第k层的所有结点都集中在最左边，这就是完全二叉树
2. 完全二叉树由满二叉树引出
3. 满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不是满二叉树
4. k为深度（1≤k≤n），则结点总数最大值为2^k-1，当达到最大值的时候就是满二叉树
   

二叉树性质

1. 性质1：在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i≥1)

2. 性质2
   深度为k的二叉树，至多有2^k-1个节点(k≥1)
   一层2-1=1
   二层4-1=1+2=3
   三层8-1=1+2+4=7

3. 性质3
   对任何一棵二叉树T，如果其终端节点数为n0，度数为2的结点为n2，则有n0=n2+1
   换句话说，就是叶子结点数-1就等于度数为2的结点数。
   证明：
   总结点数为n=n0+n1+n2，n1为度数为1的结点总数。
   一棵树的分支数为n-1，因为除了根结点外，其余结点都有一
   个分支，即n0+n1+n2-1。
   分支数还等于n00+n11+n22，n2是2分支结点所以乘以2，
   2n2+n1
   可得2*n2+n1=n0+n1+n2-1 => n2=n0-1

其他性质

高度为k的二叉树，至少有k个结点。
含有n（n≥1）的结点的二叉树高度至多为n。和上句一个意思
含有n（n≥1）的结点的二叉树的高度至多为n，最小为
math.ceil(log2(n+1))，不小于对数值的最小整数，向上取整。
假设高度为h，2^h-1=n => h = log2(n+1)，层次数是取整。
如果是8个节点，3.1699就要向上取整为4，为4层

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为int(log2n)+1或者math.ceil(log2(n+1))

性质5

如果有一棵n个结点的完全二叉树（深度为性质4），结点按照层
序编号，如右图
如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲
是int(i/2)，向下取整。就是子节点的编号整除2得到的就是父结点的编号。父结点如果是i，那么左孩子结点就是2i，右孩子结点就是2i+1。
如果2i>n，则结点i无左孩子，即结点i为叶子结点；否则其左孩
子结点存在编号为2i。
如果2i+1>n，则结点i无右孩子，注意这里并不能说明结点i没有
左孩子；否则右孩子结点存在编号为2i+1。