矩阵算法

这篇博客详细介绍了矩阵的概念,包括增广矩阵、矩阵的加减乘除、转置、行列式和逆矩阵。矩阵的加法仅限于同型矩阵,乘法则需满足特定条件。还探讨了逆矩阵的存在条件及其计算方法,对初学者掌握矩阵理论非常有帮助。

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矩阵

由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵,简称m × n矩阵。记作:

数aij位于矩阵A的第i行第j列,m×n矩阵A也记作Amn

方阵:特殊的矩阵,行列相等称为方阵。

同阶方阵:行列相等,非同阶方阵仅有伪逆矩阵

 

增广矩阵

 

矩阵加减乘除

加法

矩阵的加法满足下列运算律(ABC都是同型矩阵):

应该注意的是只有同型矩阵之间才可以进行加法

 

减法

 

和数组相乘不同,数组相乘是每一个对应元素相乘

Aij*Bij=Cij

Ci=Ai

Cj=Bj

Aj=Bi (A列=B行) ,则可以进行乘法运算

转置

把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵 [9]  ,这一过程称为矩阵的转置

矩阵的转置满足以下运算律:

 

行列式

一个n×n的正方矩阵A的行列式记为  或者 

二阶行列式:主对角线相乘的积相减

三阶行列式:主对角线乘积1+主对角线乘积2+主对角线乘积3-副对角线乘积1--副对角线乘积2-副对角线乘积3

 

伴随矩阵A*:行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下的矩阵

得到的余子式Mij以i为列,j为行的顺序,且(-1)次方Aij(称为代数余字式Aij) 组成A*伴随矩阵。

称为矩阵A 的伴随矩阵,简称伴随阵。

例题

 

逆矩阵

对于n 阶矩阵 A,如果有一个n 阶矩阵 B,使A B = B A = E

则说矩阵 A 是可逆的,并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵,简称逆阵

 

逆矩阵满足两点:

    1 、若矩阵A可逆,则|A|≠0

    2 、|A|≠0,则矩阵A 可逆,且

其中 A*为矩阵A 的伴随矩阵。

 

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