【第二章-数据结构&算法分析与设计考点总结】

第二章-数据结构&算法分析与设计考点总结（完整篇）

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背景，只有一个半月，备战2024年5月的软件设计师中级考试，使用B站“学以致知learning”up的视频，基本复制胜天半子-祁同伟博客做的笔记。

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1.基本概念和定义

数据是信息的载体，是描述客观事物属性的数、字符以及所有能输入到计算机中并被计算机程序识别和处理的符号集合。数据是计算机程序加工的原料。

数据元素是数据的基本单位，通常作为一个整体进行考虑和处理。一个数据元素可由若干数据项组成，数据项是构成数据元素的不可分割的最小单位。

数据结构是相互之间存在的一种或多种特定关系的数据元素的集合。

数据结构的三要素，逻辑结构、物理结构、数据的运算。

逻辑结构（按照逻辑关系分类）包含：集合、线性结构、树形结构、图状结构。

2.算法

算法5个特性：

1、有穷性：一个算法必须执行有穷步后结束、且每一步都可在有穷时间内完成。
2、确定性：对于每种情况下所应执行的操作，在算法中都应该有确切的规定，不会产生二义性。对于相同的输入只能得出相同的输出。
3、可行性：算法中的所有操作都可以通过已经实现的基本操作运算执行有限次来实现。
4、输入：一个算法应该有0个、一个或多个输入。
5、输出：一个算法应该有一个或多个输出。

算法效率的度量，可通俗理解成，时间复杂度：程序所运行的时间，空间复杂度：程序所占用的内存空间大小。

数据结构按照逻辑关系的不同分为线性结构和非线性结构两大类。线性结构主要就是线性表（顺序表、单链表）、栈、队列数组和串这些，而非线性结构主要就是树结构、图结构。

算法与数据结构密切相关，数据结构是算法设计的基础，设计合理的数据结构可使算法简单而高效。

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3.线性表

线性表是具有相同数据类型的n（n≥0）个元素的有限序列，通常表示为（a1，a2，…，an）。非空线性表的特点如下：

①存在唯一的一个称作“第一个”的元素。

②存在唯一的一个称作“最后一个”的元素。

③除第一个元素外，序列中的每个元素均只有一个直接前驱。

④除最后一个元素外，序列中的每个元素均只有一个直接后继。

4.1 顺序表与链表

线性表常见的2中存储结构：顺序表和链表。

4.2 顺序存储与链式存储

对于顺序存储和链式存储，进行查找的时间复杂度显然就是O（n/2）。

读运算：顺序存储中，无论元素在哪个位置，直接访问数组下标即可，所以是O（1）；链式存储中，如果读取第一个，则为最好情况1，如果读取最后一个，则为最坏情况n，因为要依次访问这些元素的指针域，所以总的为O（（n+1）/2）。

插入运算：顺序存储中，假设元素依次为2、5、6、1、9（n=5），那么最好情况是在最后一个元素后面插入一个新元素，此时不需要移动任何元素，为0，最坏情况是在第一个元素前面插入一个新元素，此时需要将2、5、6、1、9全部向后移动一个位置，为5，所以平均下来需要移动（0+5）/2个元素，即为O（0+5）/2=O（n/2）；链式存储中，只需要移动插入元素位置的前驱指针和后继指针就可以了，所以为O（1）。

删除运算：顺序存储中，假设元素依次为2、5、6、1、9（n=5），那么最好情况是将最后一个元素删除，此时不需要移动任何元素，为0，最坏情况是将第一个元素删除，此时需要将5、6、1、9全部向前移动一个位置，为4，所以平均下来需要移动（0+4）/2个元素，即为O（0+4）/2=O（（n-1）/2）；链式存储中，只需要移动删除元素位置的前驱指针和后继指针就可以了，所以为O（1）。

4.3 栈与队列

栈是只允许在一端进行插入或删除的线性表。

队列是一种先进先出的线性表，它只允许在表的一端插入元素，而在表的另一端删除元素。在队列中，允许插入元素的一端称为队尾，允许删除元素的一端称为队头。

栈和队列最重要的一点就是：栈为先进后出；队列为先进先出。（广度队列，深度栈！！！）

循环队列，队空条件，队满条件。

我们再来看上面这道例题，左端可进可出，右端只能进不能出。四个元素依次入队，得不到哪种出队序列？？？

A选项：e1、e2、e3、e4依次从左端入队，就得到了e4、e3、e2、e1这样的队列，此时依次出队即可得到A选项的结果。

B选项：e1、e2先从左端入队，之后e3从右端入队，最后e4从左端入队，就能得到e4、e2、e1、e3的队列，满足B选项。

C选项：e1、e2先从右端入队，之后e3、e4再从左端入队，就可以得到e4、e3、e1、e2的队列，即符合C选项。

D选项：仔细分析这个队列的入队出队规则，我们发现e1和e2无论如何都是相邻的元素，所以无法得到D选项这样的队列。

4.4 线性表的推广——广义表

例1：广义表LS1的长度为元素的个数（单个元素算一个元素，子表这个整体算一个元素），所以LS1中，a是一个元素，（b，c）是一个元素，（d，e）是一个元素，即长度为3。深度为所含括号的层数，LS1中最外层有一层括号，内部的（b，c）和（d，e）算同样的一层，所以总层数为2，即深度为2。

例2：要获取LS1中的字母b，则需要的操作为：先取表尾，得到（（b，c），（d，e））；再取表头，得到（b，c）；再取表头即可得到字母b。即操作序列为：Head（Head（Tail（LS1）））。

2.数组

对于一维数组来说，a[i]的存储地址计算公式为：a + i×len，a代表起始位置，i代表数组下标，len代表每个元素所占字节数。

假设数组a中每个元素占两个字节，那么对于起始位置为0、元素a[1]来说，它的存储地址为：0 + 1×2=2，因为0和1两个位置被数组的第一个元素a[0]占用。

对于上面这道例题，二维数组中，根据计算公式，元素a[2][3]按行优先存储的存储地址为：a + （2×5+3）×2=a + 26。

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3.稀疏矩阵

对于上三角矩阵和下三角矩阵，大家需要搞懂的就是下面这种例题。（不建议大家死记硬背这两个公式，推荐大家采取代入数字直接验证的方式！！！）

例题中是一个下三角矩阵，我们看到A[0，0]存储在一维数组M[1]这个位置（注意数组M的下标从1开始），所以我们取 i=0、j=0代入四个选项，BC两个选项得到的结果是0，直接排除；而AD两个选项得到的结果是1，满足题意。我们再看到A[1，0]存储在一维数组M[2]这个位置，所以我们再取 i=1、j=0代入AD两个选项，D选项得到的结果是1；A选项得到的结果是2。综上所述，通过两次取值验证，A选项正确！！！

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5.树与二叉树

5.1 基本概念

①结点的度：当前结点的孩子结点的个数。比如结点2有两个孩子结点4和5，所以结点2的度为2；而结点4和5没有孩子节点，所以度为0；结点3只有一个孩子节点6，所以度为1。

②树的度：树中所有结点的度最大的那个。比如上面这棵树中，结点的度最大为2，所以该树的度为2。

③叶子结点：度为0的结点。

④内部节点：度不为0的结点，也称为分支结点或非终端结点。除根结点外，分支结点也称为内部结点。

⑤父结点、子结点、兄弟结点：1是2和3的父结点，4和5是2的子结点，4和5、2和3称为兄弟结点。

⑥层次：根结点为第一层，之后层数依次加1。

5.2 二叉树的重要性质

再补充一条性质：具有n个结点的完全二叉树的深度为：「log2n」+ 1（前面的对数部分是向下取整）

5.3 二叉树的遍历

所谓前序、中序、后序都是根节点的位置。

对于上面的二叉树，我们来求一下它的先序、中序、后序以及层次遍历：👇👇👇

①先序遍历：采用DLR（根左右），得到的结果是：1 24578 36。

②中序遍历：采用LDR（左根右），得到的结果是：42785 1 36。

③后序遍历：采用LRD（左右根），得到的结果是：48752 63 1。

④层次遍历：依次获取每层的结点，得到的结果是：1 23 456 7 8。（具体的过程在此就不再详细说明了。。。）

要想唯一确定一棵二叉树，必须要有中序遍历的序列结果！！！

5.4 反向构造二叉树

上面这道例题中，给出了先序序列和中序序列，我们来反向构造出对应的二叉树：👇👇👇

首先看先序序列，采用的是根左右的方法，所以第一个结点A一定是根结点。对于后面的一堆，我们要借助于中序序列，因为中序序列采用的是左根右的方法，所以由根结点A就可以划分出左右两棵子树（左：HBEDF，右：GC）。

之后，我们带着左子树HBEDF再回到先序序列，可以看到这部分在先序序列中为BHFDE，所以左子树的根为B。而结点B在中序序列中对应的子序列为：HBEDF，所以B的左子树为H，右子树为EDF。EDF在先序序列中对应：FDE，所以B的右子树的根为F，F在中序序列中为：EDF，所以F只有左子树ED，带入先序序列为：DE，即根为D，对应中序序列中的ED，即D的左子树为E。

A的右子树为GC，对应先序序列中的CG，即根为C，对应中序序列中的GC，即C的左子树为G。

由上述分析，得到如下的二叉树：👇👇👇

5.5 树转二叉树

我们要将一棵普通的树转为二叉树，要遵循这样的原则：孩子结点→左子树结点，兄弟结点→右子树结点。

根结点1还作为根结点，它有三个孩子结点2、3、4，那么这三个孩子结点都应该转为新二叉树的左子树部分（因为1没有兄弟结点，所以新二叉树没有右子树部分），我们选取最左边的孩子结点2作为新二叉树的左子树结点（左子树的根），而结点3和4为结点2的兄弟结点，所以3和4应该转为2的右子树部分。4是3的兄弟结点，所以4应该作为3的右子树部分。而5、6、7是3的孩子结点，所以对应为3的左子树部分，我们同样选取最左边的孩子结点5作为3的左子树的根，而6和7作为5的兄弟结点，应该转为5的右子树部分，再次选取最左边的孩子结点6作为5的右子树的根，而7作为6的兄弟，直接转为6的右子树部分即可。再来看3的右子树部分，4作为3的兄弟结点，应该转为3的右子树的根，而8和9是4的孩子结点，全部转为4的左子树部分，选取最左边的孩子结点8作为4的左子树的根，而9作为8的兄弟结点，直接转为8的右子树部分即可！！！

仔细观察中间下方的那棵树，我们每选取一个孩子结点，就将其余的孩子结点与父结点剪断（虚线），将选取的孩子结点与自己的兄弟结点相连（实线），最终实线连成的树就是我们需要转换的二叉树！！！

5.6 二叉查找树（二叉排序树）

5.7 最优二叉树（赫夫曼树 / 霍夫曼树 / 哈夫曼树 ）

树的路径长度：每个节点的路径长度

权：节点的值

带权路径长度：节点的值乘以节点的路径长度。

树的带权路径长度（树的代价）：每个节点的带权路径长度之和。

图中的叶子节点才是真正需要的节点，中间的节点都是过渡节点。

（哈夫曼树的目标就是构造最短的带权路径长度！！！哈夫曼编码采取左0右1的原则！！！）

左边这棵哈夫曼树的带权路径长度为：1×1 + 2×2 + 4×3 + 8×3=41。

中间这棵哈夫曼树的带权路径长度为：8×1 + 4×2 + 1×3 + 2×3=25。

右边这棵哈夫曼树的构造方法为：①先选取两个权值最小的结点3和5，得到新的结点8，之后选取比8小的结点7，与8组合，得到新的结点15。而此时比15小的结点有3个（8，11，14），我们先选8和11构成新的结点19，之后将14与15组合，得到新的结点29，再将结点23与此时较小的结点19组合得到42，同时也将结点29与29组合得到58，最后42和58组合得到哈夫曼树的根结点100。

其带权路径长度为：5×5 + 3×5 + 7×4 + 14×3 + 8×3 + 11×3 + 29×2 + 23×2=271。

5.8 线索二叉树 百度

对于先序线索二叉树，它是对于二叉树的先序遍历产生的。上面这棵二叉树的先序遍历结果为：ABDEHCFGI，可以看到与结点D相连的就是结点B和E，其他的结点均是如此。（中序和后续线索二叉树和先序的规则是一样的）

若n个结点的二叉树采用二叉链表做存储结构，则链表中必然有 n+1 个空指针域。

5.9 平衡二叉树

平衡度：每个节点的平衡度就是其左子树最深路径长度减去其右子树最深路径长度得到的值。平衡二叉树的每个节点的平衡因子只能为±1或0

先看左边这棵二叉树，结点1和9为叶子节点，无左子树和右子树，所以平衡度为0；结点5的左子树深度为1、无右子树（深度为0），所以平衡度为1-0=1；结点8无左子树（深度为0）、右子树深度为1，所以平衡度为0-1=-1；结点7的左右子树深度均为2，所以平衡度为2-2=0；这几个结点都满足平衡二叉树的平衡因子只能为±1或0的条件。但是上面的结点39、73、88的平衡度依次为3、4、5，就不满足平衡因子只能为±1或0的条件，所以这不是一棵平衡二叉树。

而右边这棵二叉树，参照上面的分析过程，它是一棵标准的平衡二叉树！！！

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6.图

6.1 基本概念

有向图，节点之间有方向的图，如右图

无向图，节点之间没有方向，如左图

完全图，2个图都是完全图

度，在无向图中，节点的连线个数。

入度，在有向图中，节点的连线指向自己的数目

出度，在有向图中，节点的连线指出去的数目，

6.2 图的存储

6.2.1 邻接矩阵

给矩阵标号，比如3，与其他所有节点都有链接，所以，R1方阵中除了(3,3)之外都是1。

若是有向图呢？？？

6.2.2 邻接表

如上图中，V1节点，链接的链表中存储V1节点连接的节点的下标以及对应权重。

6.3 图的遍历

6.4 拓扑排序

每写完一个数字就划掉，有些节点互相没有关联，所以顺序不唯一。

上图的拓扑排序序列除了这四种，还有：01246357、02146357。可见，对于同一张图的拓扑序列是不唯一的！！！

6.5 最小生成树

6.5.1 普里姆算法（以顶点为中心，适合稠密图）

我们首先找到权值最小的AB，比如从顶点A出发，找到与A相连的所有边的最小值，即A→B：100，将这条边加进来，此时最小生成树中有A、B两个结点；之后，我们再将与A、B两个结点相连的所有边中的最小值加进来进行比较找到最小，可以看到应该是A→E：200，此时最小生成树中有A、B、E三个结点；不断重复上述这样的步骤，直到遍历图中的所有结点，最终得到的就是普里姆算法的最小生成树。

（注意：求解最小生成树的过程中，一定不能产生环路！！！例如上图中，当我们将结点F和D都加进来之后，下来要寻找与这些结点相连的所有边中的最小值，可以看到F→B：300，D→C：300，但是如果我们选择F→B这条路径，那么就产生了环路：A→F→B→A，这是错误的！！！所以只能选择D→C）（图中的1、2、3、4、5表示加入这条边的顺序，冒号后面的是对应边的具体值）

6.5.2 克鲁斯卡尔算法（以边为中心，适合稀疏图）

我们纵观图中的所有边，首先选出最小的一条边，也就是A→B：100，此时最小生成树中有A、B两个结点；之后不考虑连线再从图中找出值最小的边，可以看到有两条A→E：200、F→D：200，加进来这两条边之后，并没有产生环路的现象，所以可以加入，此时最小生成树中有A、B、E、F、D这些结点；接下来，继续寻找值最小的边，应该时A→F：250，将其加入；最后因为不能产生环路，所以只能添加值最小的边D→C：300。至此，已遍历全图的顶点。（图中的1、2、3、4表示加入这条边的顺序，冒号后面的是对应边的具体值）

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7.排序与查找

7.1 查找

7.1.1 顺序查找与二分查找

我们看上面这个例题，使用二分查找关键字17，具体过程如下：👇👇👇

① ⌊(1+12)/2⌋⌊(1+12)/2⌋ =6，所以定位到数组下标为6的元素的位置，比较得17＜18，可知关键字在前半部分[1，5]。

② ⌊(1+5)/2⌋⌊(1+5)/2⌋ =3，所以定位到数组下标为3的元素的位置，比较得17＞10，可知关键字在后半部分[4，5]。

③ ⌊(4+5)/2⌋⌊(4+5)/2⌋ =4，所以定位到数组下标为4的元素的位置，比较得17＞16，可知关键字在后半部分[5，5]。

④此时二分查找的区间只剩一个元素，即第五个元素17，比较得17=17，所以查找成功。（一共进行了4次比较）

分块查找：前面2中查找的折中。

7.1.2 散列表

7.2 排序

7.2.1 直接插入排序

7.2.2 希尔排序

7.2.3 简单选择排序

7.2.4 堆排序

7.2.5 冒泡排序

7.2.6 快速排序

7.2.7 归并排序

7.2.8 基数排序

7.2.9 排序算法的时间复杂度、空间复杂度及稳定性