平面图和对偶图

平面图：

能够画在平面上，任何两条边除了端点之外没有其他交点，这样的图叫做平面图。
有的图表面有交点，但只要改变一下边的画法就会没有交点，这样的图也是平面图。

对偶图：

设G是平面图，在图G的每个面中指定一个新结点，对两个面公共的边，指定一条新边与其相交。
由这些新结点和新边组成的图称为G的对偶图G*

例如下图中b是a的对偶图（图片摘自百度百科）

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[ICPC-Beijing 2006]狼抓兔子

解法：

显然最小割，但是由于点、边数量较大，dinic跑起来比较慢。
由于给定图是平面图，可以将图转化为对偶图，再对偶图上跑最短路就是最小割。

对偶图：

图中两个红色节点分别是超级源点和超级汇点（因为是多源多汇最短路，建立超级源汇点比较方便）
用最短路算法计算源点到汇点的最短路即可。
显然最短路径就是原图中的一种分割方案。

最短路算法跑的比网络流快，时间复杂度更低。

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应用例1：

题意：

n*m的网格图，一次操作将其中一条边删掉，问每次操作之后这条边的两端点是否联通。

解法：

1.离线，倒序并查集
把删边变为加边就行了。

2.在线，对偶图
删边就是在对偶图上加边，如果加边之前两端已经联通，说明这两个点不连通。

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