AtCoder Beginner Contest 162（E、F

最新推荐文章于 2023-04-22 11:53:23 发布

原创最新推荐文章于 2023-04-22 11:53:23 发布 · 252 阅读

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本文探讨两道算法题目，一是求元组GCD和的难题，利用数学原理和容斥原理解决；二是选择半数组元素求最大和的问题，采用动态规划策略，通过预处理和状态转移方程高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

E - Sum of gcd of Tuples (Hard)

题意：

在这里插入图片描述

解法：

考虑x作为gcd出现的次数，设f(x)为gcd为x的方案数
显然每个位置都要放x的倍数，这样的方案为(k/x)ⁿ
但是这样gcd可能是2x，3x…，因此要减掉f(2x)、f(3x)…即容斥

因为计算x的时候需要用到2x、3x等，因此逆向计算

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxm=1e5+5;
const int mod=1e9+7;
int f[maxm];
int ppow(int a,int b,int mod){
    int ans=1%mod;a%=mod;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
signed main(){
    int n,k;cin>>n>>k;
    int ans=0;
    for(int i=k;i>=1;i--){//枚举gcd
        f[i]=ppow(k/i,n,mod);
        for(int j=i+i;j<=k;j+=i){//容斥
            f[i]=(f[i]-f[j]+mod)%mod;
        }
        ans=(ans+f[i]*i%mod)%mod;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

F - Select Half

题意：

给一个长度为n的数组a，要求选择n/2个数，满足选择的数不相邻，问选出的数的和的最大值是多少
数据范围：n<=2e5 ，-1e9<=a(i)<=1e9

解法：

预处理sum[]数组,sum[i]表示前i个数选择全部奇数位置的和

d[i]表示前i个数中选择i/2个数的最大值
如果i是偶数:
	选择i:d[i]=d[i-2]+a[i]
	不选i:d[i]=sum[i-1]
如果i是奇数:
	选择i:d[i]=d[i-2]+a[i]
	不选i:d[i]=d[i-1]

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxm=2e5+5;
int sum[maxm];
int d[maxm];//d[i]为前i个数取i/2个的最大值
int a[maxm];
signed main(){
    int n;cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(i&1)sum[i]=sum[i-1]+a[i];//预处理选奇数位置的和
        else sum[i]=sum[i-1];
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(i&1)d[i]=max(d[i-2]+a[i],d[i-1]);
        else d[i]=max(d[i-2]+a[i],sum[i-1]);
    }
    cout<<d[n]<<endl;
    return 0;
}