85 最大矩形-动态规划

最新推荐文章于 2022-06-30 15:11:56 发布
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分类专栏： LeetCode
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给定一个二进制矩阵，目标是找到只包含1的最大矩形并返回其面积。采用动态规划策略，通过heights数组记录连续1的最大高度，并用dp数组更新不同高度下可能形成的矩形面积，最终找到最大面积。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

题目描述：
给定一个仅包含 0 和 1 的二维二进制矩阵，找出只包含 1 的最大矩形，并返回其面积。

示例:
输入:
[
[“1”,“0”,“1”,“0”,“0”],
[“1”,“0”,“1”,“1”,“1”],
[“1”,“1”,“1”,“1”,“1”],
[“1”,“0”,“0”,“1”,“0”]
]
输出: 6
方法1：动态规划
主要思路：
（1）使用heights[ i ][ j ]表示当前位置中，字符 ‘1’ 可以形成的高度，若matrix[ i-1][j-1] 处的字符为 ‘0’ ，则高度为 0 直接跳过，若为字符 ‘1’，则需要增加高度，既 heights[i][j]=heights[i-1][j]+1；
（2）在增加了高度后，可以更新在增加了该字符后，能不能在之前的面积的后面的一列上，增加新的面积，则使用 dp[i ][ j ] [ k ] 表示 i，j处各个高度下可能形成的面积，既 dp [ i][j][k] = dp[i][j-1][k]+k；
（3）使用中间变量保存可能的最大面积，既 res=max(res,dp[i][j][k]);

class Solution {
   
public:
    int maximalRectangle(vector<vector<char>>& matrix) {
   
        if(matrix.empty()||matrix[0
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leetcode 85 最大矩形（动态规划做法）
qq_52993545的博客
12-27 433
动态规划 很神奇的一个做法。执行速度极快，超越了94%的用户。未完全理解，我先去搞懂84题再回来看 = =。 class Solution { public: int maximalRectangle(vector<vector<char>>& matrix) { if (matrix.size() == 0) return 0; int leftMax[matrix[0].size()]; fill(left
(nice!!!)LeetCode 85. 最大矩形（动态规划dp）
记录一些刷过的题并分享学习心得
06-20 482
【代码】(nice!!!)LeetCode 85. 最大矩形（动态规划dp）
最大矩形（单调栈 || 动态规划）
龙征天的博客
03-22 1288
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动态规划：85、最大矩形
carolineme的博客
12-26 373
思路：dp[i][j]表示矩形在该点的宽度，遍历所有为1的点，求出包含该点的所有矩形面积。 class Solution { public: int maximalRectangle(vector<vector<char>>& matrix) { int m=matrix.size(); if(m==0) return 0; int n=matrix[0].size(); int maxarea...
LeetCode 85. 最大矩形(动态规划)
weixin_37763870的博客
01-18 906
题目描述 给定一个仅包含 0 和 1 的二维二进制矩阵，找出只包含 1 的最大矩形，并返回其面积。 示例: 输入: [ [“1”,“0”,“1”,“0”,“0”], [“1”,“0”,“1”,“1”,“1”], [“1”,“1”,“1”,“1”,“1”], [“1”,“0”,“0”,“1”,“0”] ] 输出: 6 思路 详见链接 代码 class Solution: def maxmalRec...
leetcode最大矩形 (动态规划 python)
总裁余（余登武）博客
06-13 1287
描述 给你一个二维矩阵，权值为False和True，找到一个最大的矩形，使得里面的值全部为True，输出它的面积 您在真实的面试中是否遇到过这个题？ 样例 样例1 输入: [ [1, 1, 0, 0, 1], [0, 1, 0, 0, 1], [0, 0, 1, 1, 1], [0, 0, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 1] ] 输出: 6 样例2 输入: [ [0,0], [0,0] ] 输出: 0 解题思路 假设我们输入的矩形第一行数时是： [1, 1, 1, 0, 1,1，0,1,1]
python-leetcode面试题解之第85题最大矩形-题解.zip
04-23
第85题“最大矩形”是一道数据结构和动态规划的问题，其目标是在给定的二维矩阵中找到最大的矩形区域。这个矩阵通常由一系列1（代表墙）和0（代表空地）组成，矩形的边界由连续的1定义。问题的核心是找到最大的由1...
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zjwreal
06-11 2753
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LeetCode刷题笔记85：最大矩形（Python实现）
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题目描述： 给定一个仅包含 0 和 1 的二维二进制矩阵，找出只包含 1 的最大矩形，并返回其面积。 示例: 输入: [ ["1","0","1","0","0"], ["1","0","1","1","1"], ["1","1","1","1","1"], ["1","0","0","1","0"] ] 输出: 6 Solution： 参考了题解的一种方法： 动态规划...
动态规划-直方图内最大矩形
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最大矩形-遍历、动态规划
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05-08 521
最大矩形 给定一个仅包含 0 和 1 的二维二进制矩阵，找出只包含 1 的最大矩形，并返回其面积。 示例: 输入: [ [“1”,“0”,“1”,“0”,“0”], [“1”,“0”,“1”,“1”,“1”], [“1”,“1”,“1”,“1”,“1”], [“1”,“0”,“0”,“1”,“0”] ] 输出: 6 解题思路： 1.遍历整个矩阵，竖着相连的1依次增加存放在s_up中，横着相连的1依次增加存放在s_left中，考虑matrix可能为单列或单行，因此暂且将s_up或s_left的最大值赋予给最大
Leetcode动态规划之 最大矩形
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04-07 458
题目描述 给定一个仅包含 0 和 1 的二维二进制矩阵，找出只包含 1 的最大矩形，并返回其面积。 思路 动态规划：定义dp[i][j]表示以第i+1行第j+1字符结尾的只包含1的最大长度。若matrix[i][j]是0，则对应的dp为0，否则dp[i][j] = dp[i][j-1]+1。至此则再向上回溯，找到以第i+1行第j+1字符结尾的只包含1的最大矩形面积 代码 方法一： class ...
【leetcode】84 柱状图中最大的矩形（动态规划，栈）
zjwreal
06-11 865
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/largest-rectangle-in-histogram/ 题目描述 给定 n 个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为 1 。 求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。 以上是柱状图的示例，其中每个柱子的宽度为 1，给定的高度为 [2,1,5,6,2,3]。 图中阴影部分为所能...
Largest Rectangle in a Histogram（最大矩形面积，动态规划思想）
weixin_33812433的博客
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Largest Rectangle in a Histogram Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 15013    Accepted Submission(s): 4357 Problem Description ...
【Leetcode】85. Maximal Rectangle（求最大矩形）（动态规划）
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算法学习之动态规划(leetcode 85. Maximal Rectangle）
maxiaotiaoti的专栏
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85. Maximal Rectangle
动态规划--最大正方形 最大长方形
江上酒
11-15 388
最大正方形 f[i][j]=min(f[i-1][j],min(f[i-1][j-1],f[i][j-1]))+1; class Solution { public: int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) { int n=matrix.size(); if(n==0)return 0; int m=matrix[0].size(); int res=0;
leetcde-------求柱状图中最大的矩形(动态规划，中心扩展)
ZJE
03-27 599
解法一：暴力枚举法： 思路：枚举出，每一列对应的最大矩形。最后找出最大的那个即可。 首先，要想找到第 i 位置最大面积是什么？ 是以i 为中心，向左找第一个小于 heights[i] 的位置 left_i；向右找第一个小于于 heights[i] 的位置 right_i，即最大面积为 heights[i] * (right_i - left_i -1)，如下图所示： 代码： c...
LeetCode 最大矩形，最大正方形系列 84. 85. 221. 1277. 1725. （单调栈，动态规划）
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最大矩形，最大正方形系列题目。单调栈和动态规划的运用
动态规划最大矩形
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03-19
<think>好的，我现在需要帮助用户解决关于使用动态规划求解最大全1子矩阵或最大矩形面积的问题。首先，我需要回忆相关知识，并结合用户提供的引用内容来构建回答。 用户引用了三个参考内容。引用[1]提到了使用动态规划处理子矩阵的方法，先计算前缀和，再转换为一维数组的最大子数组问题。引用[2]提到了全1矩阵和极大子矩阵的示例，以及单调栈和预处理的方法。引用[3]则涉及LeetCode的最大正方形问题，提到了暴力解法和动态规划解法。 用户的需求是动态规划解决最大矩形问题，特别是全1子矩阵或最大面积。我需要将动态规划的方法详细解释清楚，并结合可能的实现步骤。 首先，最大矩形问题通常有两种解法：一种是基于动态规划，另一种是使用单调栈。但用户明确要求动态规划，所以需要专注于这种方法。不过，根据我的记忆，动态规划在解决最大矩形问题时，通常用于特定情况，比如最大正方形，而对于一般的最大矩形，可能需要结合其他方法，比如使用柱状图的优化，这可能涉及到动态规划预处理。 比如LeetCode中的题目85. 最大矩形，通常的解法是将每一层作为柱状图的底，计算每个位置的高度，然后对每一层使用柱状图中最大矩形的算法，而后者可以用单调栈或者动态规划优化。但用户可能希望的是直接的动态规划解法，或者将动态规划作为预处理步骤。 另一个例子是最大正方形，如引用[3]提到的，动态规划解法是常见的。例如，定义一个dp数组，其中dp[i][j]表示以(i,j)为右下角的最大正方形的边长。状态转移方程是dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1，前提是当前格子为1。 但用户的问题是关于最大矩形面积，而不仅仅是正方形。可能需要结合柱状图的方法，其中动态规划用于计算每一行的高度数组，然后对每个高度数组使用动态规划或单调栈的方法求解最大矩形面积。 例如，对于每一行，可以维护一个高度数组height，其中height[j]表示当前行第j列向上连续的1的个数。然后，对每一行的height数组，应用柱状图的最大矩形算法，这通常使用单调栈，但用户可能希望看到动态规划的部分。不过，这里的预处理部分可能涉及动态规划来计算高度数组，而最大矩形部分的计算可能用单调栈。这时候需要明确回答中如何结合这两个部分。 或者是否存在一种纯动态规划的方法直接解决最大矩形问题？可能需要进一步思考。例如，可能有一种方法记录每个点向左和向上的延伸范围，然后结合这些信息计算最大面积。但这种方法复杂度较高，或者需要更多的状态变量。 根据引用[1]中的方法，用户提到将问题转换为每一行的前缀和，然后对列区间内的行和转换为一维数组的最大子数组，使用动态规划。这可能对应于另一种问题，比如最大子矩阵和，而不是最大全1子矩阵。但用户的问题是关于全1子矩阵，所以可能不适用。不过需要确认是否用户的引用可能有误，或者需要调整思路。 可能用户混淆了最大子矩阵和与最大全1子矩阵的问题，但根据问题描述，用户需要的是全1的情况，即所有元素都是1的最大子矩阵面积。这时候，动态规划的方法可能涉及预处理高度数组，然后对每个高度数组计算最大矩形面积，而这里的动态规划可能是在预处理阶段。 例如，动态规划预处理得到每个位置的高度数组，然后对每个高度数组应用动态规划来求解最大面积。但通常柱状图的最大矩形面积用单调栈更高效，但用户可能需要动态规划的应用点。 或者是否有动态规划方法直接处理每个高度数组的最大矩形面积？例如，对于每个位置j，在高度数组中，找到左边第一个比height[j]小的位置，和右边第一个比height[j]小的位置，这通常用单调栈，但若用动态规划的话，可以预处理left和right数组。比如，对于每个j，left[j]表示左边最近的比height[j]小的索引，这可以通过动态规划的方式计算吗？ 例如，left数组的每个元素可以递推得到：如果height[j] <= height[j-1]，则需要向左查找，直到找到比当前小的。这可能不是典型的动态规划，而是迭代或单调栈。因此，可能动态规划在此问题中的应用主要是在预处理高度数组，而最大矩形面积的计算可能依赖于其他方法。 因此，在回答用户的问题时，我需要明确动态规划在其中的角色。可能的最大全1子矩阵的动态规划解法包括以下步骤： 1. 预处理高度数组：对于每一行，计算每个位置向上连续的1的数量，这可以通过动态规划逐行处理。例如，如果当前格子是1，则height[i][j] = height[i-1][j] + 1，否则为0。这一步是动态规划。 2. 对每一行的高度数组，计算该行能形成的最大矩形面积。这里通常使用单调栈的方法，但若用户希望动态规划部分，可能需要转换思路。或者是否有动态规划方法直接处理这部分？ 例如，可以针对每个高度数组中的元素，维护两个数组，left和right，分别表示每个位置向左和向右能扩展的最远位置，使得这些位置的高度都不小于当前高度。然后面积就是height[j] * (right[j] - left[j] + 1)。计算left和right数组可以使用动态规划吗？ 比如，对于left数组，可以这样递推：对于位置j，如果height[j] > height[j-1]，则left[j] = left[j-1]，否则需要继续向左找。这可能不完全是动态规划，而更接近迭代的方式。但或许可以将left数组的计算视为动态规划的一种应用，因为每个位置的left值依赖于之前的结果。 或者，另一种思路是，对于每个位置j，在高度数组height中，找到最大的宽度，使得该宽度内的所有高度都>=height[j]。这可能不太容易用动态规划直接解决。 综上，动态规划在解决最大全1子矩阵问题中的主要应用是预处理得到高度数组，而计算最大矩形面积则可能结合其他方法。因此，在回答用户的问题时，需要分步骤解释： - 预处理高度数组的动态规划方法； - 对每一层的高度数组，使用动态规划或其他方法（如单调栈）计算最大面积； - 综合各层的最大值得到最终结果。 在用户提供的引用中，引用[1]提到了动态规划用于处理一维数组的最大子数组和，这可能与用户的问题不直接相关，但可能用户混淆了问题类型。而引用[3]提到的最大正方形的动态规划解法，可以作为一个子问题来介绍，然后扩展到矩形的情况。 因此，回答的结构可能如下： 1. 动态规划预处理高度数组； 2. 对每行的高度数组应用最大矩形算法（可能结合动态规划或单调栈）； 3. 综合所有行的结果得到最大面积。 此外，用户可能需要具体的实现代码，例如Python代码，来展示动态规划的步骤。 在实现部分，动态规划预处理高度数组的步骤相对明确。例如： 初始化一个height数组，长度与列数相同，初始为0。遍历每一行，如果当前元素是1，则height[j] +=1，否则height[j] =0。这其实是动态规划，因为当前行的height仅依赖于上一行的结果。 然后，对于每一行的height数组，计算最大矩形面积。这里可能需要单调栈方法，但为了符合用户对动态规划的需求，可能需要寻找另一种方法。或者，可能不存在纯动态规划的方法来计算这一步，这时候需要说明虽然预处理是动态规划，但计算最大矩形面积可能使用其他方法，但这也是整体算法的一部分。 因此，在回答中，需要明确说明动态规划在预处理阶段的作用，然后说明如何利用其他方法（如单调栈）来处理后续步骤，但整个算法框架可能被视作结合动态规划的方法。 最后，用户可能需要具体的实现示例，例如Python代码。因此，可以提供一个分步骤的代码示例，包括动态规划预处理和单调栈处理的部分，并解释每个步骤的作用。 现在，整理思路，形成回答： 首先介绍问题：最大全1子矩阵的动态规划解法。 步骤一：动态规划预处理高度数组。对每个位置(i,j)，计算从该行向上连续的1的数量。这通过逐行更新height数组实现。 步骤二：对每一行的高度数组，计算当前行能形成的最大矩形面积。这部分使用单调栈算法，例如类似LeetCode 84题的方法。虽然这部分不是动态规划，但整体算法结合了动态规划的预处理步骤。 步骤三：比较所有行的最大面积，得到全局最大。 然后给出代码示例，展示如何实现上述步骤，并解释关键部分。 同时，根据用户提供的引用，引用[3]提到了最大正方形的动态规划解法，可以对比说明，即最大正方形是最大矩形的一个特例，其中动态规划的状态转移方程不同。 最后，生成相关问题，如动态规划与单调栈的区别、时间复杂度分析、LeetCode相关题目等。 综上，这样的回答结构应该能够满足用户的需求，结合动态规划和必要的其他方法，同时提供实现代码和相关问题。</think>### 动态规划求解最大全1子矩阵的算法实现 最大全1子矩阵问题要求在一个由0和1组成的二维矩阵中，找到全部由1构成的最大矩形面积。以下是基于动态规划的经典解法，结合预处理和单调栈优化： --- #### **算法步骤** 1. **预处理高度数组（动态规划）** 逐行遍历矩阵，维护一个数组 `height`，其中 `height[j]` 表示 **当前行第j列向上连续的1的数量**。更新规则为： - 若当前元素为 `'1'`，则 `height[j] += 1`； - 若为 `'0'`，则 `height[j] = 0`。 这一步通过动态规划逐层累积高度，时间复杂度为 $O(mn)$[^3]。 2. **对每行高度数组求最大矩形（单调栈）** 对每一行的 `height` 数组，使用 **单调栈** 算法（类似LeetCode 84题）计算当前行的最大矩形面积。具体步骤： - 维护一个单调递增栈，记录柱状图的索引和高度； - 遍历每个高度时，若当前高度小于栈顶高度，则弹出栈顶并计算面积； - 时间复杂度为 $O(n)$ 每行，总复杂度 $O(mn)$[^2]。 3. **全局最大值更新** 记录所有行的最大矩形面积，取全局最大值。 --- #### **Python代码实现** ```python def maximalRectangle(matrix): if not matrix: return 0 max_area = 0 rows, cols = len(matrix), len(matrix[0]) height = [0] * (cols + 1) # 末尾添加0用于触发栈计算 for row in matrix: # 更新动态规划的高度数组 for j in range(cols): height[j] = height[j] + 1 if row[j] == '1' else 0 # 单调栈计算当前行的最大矩形 stack = [-1] for k in range(cols + 1): while height[k] < height[stack[-1]]: h = height[stack.pop()] w = k - stack[-1] - 1 max_area = max(max_area, h * w) stack.append(k) return max_area ``` --- #### **关键点解释** - **动态规划预处理**：通过逐行累积高度，将二维问题转化为多个一维柱状图问题。 - **单调栈优化**：快速找到每个高度能向左右扩展的最大宽度，从而计算面积[^2]。 - **时间复杂度**：总复杂度为 $O(mn)$，适用于大多数实际场景。 --- #### **对比最大正方形问题** 最大正方形是最大矩形的特例，其动态规划状态定义为： $$ dp[i][j] = \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1 $$ 仅当当前格子为 `'1'` 时更新，记录的是右下角构成的正方形边长。 ---
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