一般角度的旋转矩阵的推导

一般角度的旋转矩阵

1. 复数与旋转的关系

在复平面上，复数 $e^{j\theta }$ 表示逆时针旋转角度 $\theta$。对于任意复数 $z=x+jy$：

$$e^{j\theta }\cdot z=(\cos \theta +j\sin \theta )(x+jy)$$

展开计算：
$$=x\cos \theta +jx\sin \theta +jy\cos \theta +j^{2}y\sin \theta$$
$$=(x\cos \theta -y\sin \theta )+j(x\sin \theta +y\cos \theta )$$

2. 旋转矩阵的一般形式

上述变换对应的矩阵形式为：
[x′y′]=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ][xy] \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}