欧几里德算法 && 扩展欧几里德算法【超级详解，保证您看不了吃亏，看不了上当】

欧几里德算法：（辗转相除法）

求整数a、b (a>b) 的最大公因数(Greatest Common Divisor):

算法内容

假设整数a>=b

1. a / b = q1 … r1
2. 如果 r1=0，gcd(a,b)=b;
3. 如果 r1!=0，b / r1 = q2 … r2;
4. 如果 r2=0，gcd(a,b)=r1;
5. 如果 r2!=0，r1 / r2 = q3 … r3;
6. ……
7. 以此往复，直到最后余数为0的除数即为gcd(a,b)

证明
我们假设整数a / b = q … r (a>=b)，显然有b>r
转换一下得到：a = bq + r
现在我们假设c为a和b的一个公因数，即 c | a，c | b (意为c是b的一个因子)
于是我们可以设：a= cm; b= cn;
将a，b带到 a = bq + r 里去，得到：cm=cnq+r
移项合并可以得到：c(m-nq) = r，即 c | r
推得：所有a和b的公因子都是b和r的公因子

同理：所有b和r的公因子都是a和b的公因子

于是得到结论：gcd(a,b)=gcd(b,r)=gcd(b,a%b)

code

int gcd(int a,int b)
{
    return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}

最小公倍数(Lowest Common Multiple)

因为：

gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b

所以：

lcm(a,b)=a/gcd(a,b)*b;//为了防止a*b溢出，所以先除后乘

扩展欧几里德算法：

输入 a,b ，求整数 x,y 使得 ax+by=gcd(a,b) 成立。

内容+证明：

1. 假设b*x1+(a%b)*y1=gcd(b,a%b)已经求出(x1,y1)
2. 由欧几里德算法可知gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
3. 所以可以得到a*x+b*y=b*x1+(a%b)*y1
4. 因为a%b=a-(a/b)*b
5. 所以a*x+b*y=b*x1+(a-(a/b)*b)*y1
6. 所以a*x+b*y=a*y1+b(x1-(a/b)*y1)
7. 所以：x=y1; y=b(x1-(a/b)*y1);

那么显然我们可以借助欧几里德通过递归来求出(x,y)

code:

int x,y;
int exgcd(int a,int b)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b);
    int tx=y;
    int ty=x-(a/b)*y;
    x=tx;
    y=ty;
    return d;
}

部分代码解释：
d=exgcd(b,a%b);
跑完这一步，(x,y)实际上被赋值为(x1,y1)，所以我们要通过推得的式子来得到初始我们要求的(x,y)

已知方程ax+by=c的一组解(x0,y0)，我们如何求方程通解？

首先，我们先考虑求一组(x0,y0)的相邻的解(x1,y1)
设x1=x0+i
则y1=[ a*(x0+i)-c ] / (-b)=(ax0-c) / (-b) +a*i / (-b)= y-a*i/b
因为我们要求整数解，所以要保证a*i / b和i都是整数；又因为我们要求的是相邻解，所以我们要在i是整数的前提下使a*i / b尽可能小
一、可以分两种情况来考虑：

1. 如果a和b互质，那么有且仅有i=b能使a*i / b为整数且最小
2. 如果a和b不互质，那么就先使a*i / b化简，上下同时除以gcd(a,b)，使分子分母互质，即(a/gcd(a,b))*i / b/gcd(a,b)，这个时候i=b/gcd(a,b)才能满足条件
3. 综合上面两种情况，只有当i=b/gcd(a,b)时，(x1,y1)为(x0,y0)的相邻解，即x1=x0+b/gcd(a,b) y1=y0-a/gcd(a,b)

二、我们要在i是整数的前提下使a*i / b尽可能小，所以a*i=lcm(a,b)，所以i=lcm(a,b)/a=a*b/gcd(a,b)/a=b/gcd(a,b)也就是i=b/gcd(a,b)，和上面得出的结果是一样的

由于方程是线性的，所以整数解满足线性关系，所以通解为：

x[k]=x0+k*b/gcd(a,b)
y[k]=y0-k*a/gcd(a,b)

另外：

设，a,b,c是任意整数，g=gcd(a,b)，方程 ax+by=g 的一组解是(x0,y0)，则当c是g的倍数时，ax+by=c 的一组解是(x0c/g,y0c/g)；当c不是g的倍数时无整数解。