求解逆序数

两行代码vector求逆序数（冒泡）

冒泡排序是保证前面冒完的泡泡是有序的~，所以说，我们可以直接利用这一点，二分找到要插入的数值应该在哪个位置，那么原位置减去当前应该在的位置就是它的逆序数

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;

int read()
{
    int x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') f = -f; c = getchar(); }
    while(c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
    return x * f;
}

const int maxN = 500005;
int a[maxN];
vector<int>vt;

int main()
{
    int n; n = read();
    ll ans = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++ i)
    {
        a[i] = read();
        int id = upper_bound(vt.begin(), vt.end(), a[i]) - vt.begin();
        ans += ll(i - id), vt.insert(id + vt.begin(), a[i]);
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

归并排序解决逆序数

归并排序采用了分治法，将两个有序的区间合并。将原区间不断划分为小区间，再进行归并排序，最终得到一个完全有序的序列，也叫二路归并。

定义合并空间：$rank[]$

定义指针$i，j$分别为两个有序子区间的起始位置。
如果$a[i]<=a[j]$那么将$a[i]$放入合并空间，指针$i$后移；否则，将$a[j]$放入合并空间，指针$j$后移

那么如何求逆序数呢？

举个栗子！

上图状态下，$mid=3$
① $a[i=1]>a[j=4]$，$a[4]=1$的逆序数为$3=mid-i+1$；合并序列{1}；指针$j$后移
② $a[i=1]<a[j=5]$，合并序列{1,2}；指针$i$后移
③ $a[i=2]>a[j=5]$，$a[5]=3$的逆序数为$2=mid-i+1$；
…剩下的类似

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;

int read()
{
    int x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') f = -f; c = getchar(); }
    while(c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
    return x * f;
}

const int maxN = 500005;
int n, a[maxN], rk[maxN];
ll ans;

void msort(int l, int r)
{
    if(l == r) return ;
    int mid = (l + r) >> 1;
    msort(l, mid); msort(mid + 1, r);
    int i = l, j = mid + 1, k = l;
    while(i <= mid && j <= r)
    {
        if(a[i] <= a[j]) rk[k ++ ] = a[i ++ ];
        else rk[k ++ ] = a[j ++ ], ans += ll(mid - i + 1);
    }
    while(i <= mid) rk[k ++ ] = a[i ++ ];
    while(j <= r) rk[k ++ ] = a[j ++ ];
    for(int p = l; p <= r; ++ p ) a[p] = rk[p];
}

int main()
{
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++ i ) a[i] = read();
    msort(1, n);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

树状数组求逆序数

树状数组的作用是什么呢？答：存的是每个对应数值出现的次数。所以对于某个数$a[i]$来说，将这个数插入树状数组之后，那么我们查询数值$[1,a[i]]$出现次数的前缀和，就可以得到数组$a[1,i]$中小于等于$a[i]$的数的个数$num$。那么逆序数就是$i-num$~

因为数据给的很大，但是$n$不大，所以我们需要对原数组进行离散化。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;

int read() {
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') f = -f; ch = getchar(); }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
    return x * f;
}
const int maxN = 5e5 + 10;
#define lowbit(x) x & (-x)
struct node{
    int data, id;
    friend bool operator < (node n1, node n2) { if(n1.data == n2.data) return n1.id < n2.id; return n1.data < n2.data;}
}a[maxN];
int n, disc[maxN];
int tree[maxN];
void Insert(int i, int val) {
    while(i <= n) tree[i] += val, i += lowbit(i);
}
int query(int i) {
    int res = 0;
    while(i > 0) res += tree[i], i -= lowbit(i);
    return res;
}
int main() {
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++ i ) a[i].data = read(), a[i].id = i;
    sort(a + 1, a + n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; ++ i ) disc[a[i].id] = i;
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++ i ) {
        Insert(disc[i], 1);
        ans += i - query(disc[i]);
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

例题：P1908 逆序对

对于这个题来说，第一种用冒泡的方法$O(n^2)$，肯定是TTTTTTTTT啊~后面两种$O(nlogn)$可以解决