离散元法简介

1 概述

离散元法（Discrete Element Method，后续简称为DEM）是一种计算大量固体颗粒物运动的数值计算方法。

适用于DEM的问题特点为：

1 计算问题为固体颗粒物的运动及在空间的分布

2 颗粒尺寸相对于计算域小得多

3 颗粒数量多

典型颗粒物：沙粒（图源：civilread.com）

如今，DEM广泛应用于采矿、农业、机械、化工等行业，用于分析矿石输送、颗粒物搅拌、杂质过滤等问题。

使用Rocky分析的颗粒原料混合搅拌（图源：Ansys官网）

2 计算原理

2.1 基本原理

从计算处理方式分类，DEM是基于拉格朗日体系的计算方法，其直接追踪每个颗粒物的运动规律。

颗粒物运动满足牛顿第二定律：

linear format:

𝐹 ⃗=𝑚∙𝑎 ⃗=𝑚∙(𝑑𝑣 ⃗)/𝑑𝑡

𝑀 ⃗=𝐽∙𝛼 ⃗=𝐽∙(𝑑𝜔 ⃗)/𝑑𝑡

颗粒物的受力包括体积力和接触力两类。体积力包括重力、电磁力、流体作用力等各类外部作用力；表面力指颗粒之间或颗粒和其他固体表面接触产生的表面作用力，包括表面接触力、摩擦力、黏着力等。

对于受力状态已知的颗粒，给定初始时刻的速度和位置，即可通过对时间的积分获取颗粒速度和位置随时间的变化规律。其计算过程无复杂的迭代求解步骤。

linear format:

𝑣 ⃗_1=𝑣 ⃗_0+∫24_𝑡^(𝑡+∆𝑡)▒𝑎 ⃗  𝑑𝑡

𝑋 ⃗_1=𝑋 ⃗_0+∫_𝑡^(𝑡+∆𝑡)▒𝑣 ⃗_1  𝑑𝑡

在DEM中，颗粒物不仅指矿石、沙粒等实体颗粒，也包括稻草等细长杆状物和薯片等薄板型物体。非实体颗粒的运动也采用上述计算方法。

Rocky中的纤维、壳和实体颗粒

2.2 其他重点

对于矿石破碎等需要考虑颗粒物破碎的问题，颗粒物在破碎前后应满足质量守恒、体积守恒和动量守恒。实际上精细的计算每一个颗粒的破碎及破碎后的真实形状，既不可能也无必要。

某些问题中，其颗粒数可能多达数十亿甚至更高量级，完全求解每个颗粒既不现实也无必要。使用粗颗粒模型（Coarse-Grain Model，简写为CGM）可将若干颗粒合并为代表性的单一颗粒包（parcel），从而减少计算量。

在CGM中，通过设置CGM系数即可调整实际需要计算的颗粒数。

基于CGM的颗粒放大图示

颗粒包数量和真实颗粒数量之间的关系为：

linear format: 

𝑁_𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑙𝑒=〖𝑓_𝐶𝐺𝑀〗^3∙𝑁_𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙

CGM系数越小，仿真结果越准确。

2.3 离散方式

DEM属于无网格方法，前处理阶段无需对计算域进行网格划分，仅需要表面几何形状用于约束颗粒物运动。表面无需封闭成实体，也允许存在穿透、缝隙等。

2.4 DEM与欧拉多相流模型

欧拉多相流模型是CFD中一种涉及固体颗粒物的多相流计算方法，将颗粒物视为一种特殊的流体介质，基于欧拉体系进行计算，并获取空间中的相体积分数和相速度分布状态。

通常欧拉多相流模型分析不存在复杂颗粒间相互作用，仅需要获取颗粒大致分布规律的问题合适，但是无法处理颗粒的破碎、凝聚成团等复杂现象。

通过DEM-CFD双向耦合，可利用DEM软件计算颗粒相速度和体积分数，并传递到CFD软件中分析颗粒物和流体介质的相互影响。

3 仿真软件

目前市场上，DEM仿真最常用商业软件为Ansys的Rocky和Altair的EDEM。

Rocky宣传图（图源：Ansys官网）

EDEM宣传图（图源：Altair官网）

西门子的Star-CCM+也具备DEM相关功能，但是用户群体相对于Rocky和EDEM小得多。

Star-CCM+宣传图（图源：西门子官网）

实际工程中，纯DEM应用较少，大量问题需要DEM需要耦合其他仿真方向。

涉及DEM的耦合主要包括两类：

1 需要其他软件计算颗粒物受力，如通过流体仿真软件计算颗粒受到的流体作用力

2 DEM的计算结果作为结构载荷，用于分析结构的受载、运动、变形问题

Rocky和Fluent耦合分析悬浮液体系的搅拌

Rocky和Mechanical耦合分析挖斗受载状态

与此同时，根据问题中多个物理场之间是否存在相互作用，可将耦合分为单向耦合和双向耦合。

4 硬件搭配

从数学原理上来看，DEM属于计算对象多但是每个计算对象的计算量不大的算法，其特点极适合于并行加速和GPU加速。

根据Ansys和Altair的资料，大规模的DEM计算，GPU相对于CPU提速效果极为明显。

Rocky对比CPU和GPU的加速性能差异

EDEM对比CPU和GPU的加速性能差异

由于显存容量直接限制GPU加速所支持的颗粒数，因此通常不推荐使用游戏卡进行加速，推荐使用专业级显卡。