【NOIP2021】方差（动态规划、贪心+搜索）

题面

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具体题面就不拉了吧，这题应该挺有名的。

题解

首先有一个变换大家必须注意到，这个数组的差分数组可以任意重排。

然后，对它找找规律，不难发现，重排后的差分数组，大致是先递减后递增的，中间一堆 0，这是因为我们求的是最小方差，而方差是描述数据离散程度的量，

一定存在一个分界点，使得前面的差分值单减、后面的差分值单增。但是此时我仍然没有摆脱枚举 $\bar{a}$ 这个根深蒂固的想法……用 $\mathcal{O}(na)$ 枚举 $\bar{a}$ 之后，将差分值从大到小排序，从两边往中间填，状态为某一边的末尾 $a$ 值；这样就是 $\mathcal{O}(n^2{a}^2)$ 的了。
最小方差生成树中，边的权值之间非常不独立，让我们难以运用贪心求解最小生成树，所以我们才枚举 $\bar{a}$。在这道题里，其实完全不需要枚举 $\bar{a}$ 了！化简一下 $n^{2}D$ 的式子得到
$$n^{2}D=n\sum a_i^2-{\left(\sum a_i\right)}^2$$
可以直接对它进行动态规划。从两边往中间放行不通了，考虑从中间往两边放。这相当于一个动态变化的过程，可以在前面插入差分值（将所有数增大这个差分值）或者在最后插入。奇特的是，将所有数增大 $d$ 对 $\sum a_i$