0-1背包问题（动态规划）--Java版

动态规划算法介绍：

1. 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3. 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 ) 。
4. 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。

其背包问题大致有三类：

1、0-1背包：每类物品最多只能装一次 
2、多重背包：每类物品都有个数限制，第i类物品最多可以装num[i]次 
3、完全背包：每类物品可以无限次装进包内

下面重点讲解0-1背包问题的原理分析与代码实现：

背包问题：有一个背包，容量为m=4磅 ， 现有如下物品:

物品	重量	价格
吉他(G)	1	1500
音响(S)	4	3000
电脑(L)	3	2000

1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2. 要求装入的物品不能重复

思路分析和图解： 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分0-1背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用) 这里的问题属于0-1背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为0-1背包。

算法的主要思想：利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

(1)  v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0      

(2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j]  // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略      

(3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} // 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量即, // 装入的方式: v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值 v[i] : 表示当前商品的价值 v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{ v[i-1][j],  v[i]+v[i-1][ j-w[i] ] } 图解如下：

物品	0 磅	1磅	2磅	3磅	4磅
	0	0	0	0	0
吉他(G)	0	1500(G)	1500(G)	1500(G)	1500(G)
音响(S)	0	1500(G)	1500(G)	1500(G)	3000(S)
电脑(L)	0	1500(G)	1500(G)	2000(L)	2000(L)+1500(G)

                                         

/**
 * @author 江河
 * @date 2019-06-24 16:34
 */


public class KnapsackProblem {

  public static void main(String[] args) {
    // TODO Auto-generated method stub
    int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
    int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]
    int m = 4; //背包的容量
    int n = val.length; //物品的个数

    //创建二维数组，
    //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
    int[][] v = new int[n+1][m+1];
    //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
    int[][] path = new int[n+1][m+1];

    //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
    for(int i = 0; i < v.length; i++) {
      v[i][0] = 0;//将第一列设置为0
    }
    for(int i=0; i < v[0].length; i++) {
      v[0][i] = 0; //将第一行设置0
    }


    //根据前面得到公式来动态规划处理核心代码
    for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的
      for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的
        //公式
        if(w[i-1]> j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
          v[i][j]=v[i-1][j];
        } else {
          //说明:
          //因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成
          //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i]+v[i-1][j-w[i]]);
          //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
          //为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式存放路径
          if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
            v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
            //把当前的情况记录到path
            path[i][j] = 1;
          } else {
            v[i][j] = v[i - 1][j];
          }

        }
      }
    }

    //输出一下v 看看目前的情况
    for(int i =0; i < v.length;i++) {
      for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
        System.out.print(v[i][j] + " ");
      }
      System.out.println();
    }

    System.out.println("============================");
    //输出最后我们是放入的哪些商品在规定磅下的放入最大值
    //遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入
//		for(int i = 0; i < path.length; i++) {
//			for(int j=0; j < path[i].length; j++) {
//				if(path[i][j] == 1) {
//					System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
//				}
//			}
//		}

    //假如找行列的最大下标的规定重量下的放入最大值可以看出那个位置放入了哪些商铺
    int i = path.length - 1; //行的最大下标
    int j = path[0].length - 1;  //列的最大下标
    while(i > 0 && j > 0 ) { //从path的最后开始找
      if(path[i][j] == 1) {
        System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
        j -= w[i-1]; //w[i-1]
      }
      i--;
    }

  }

}

韩老师是真的厉害能把背包问题讲的深动形象，大部分结合他的来整理的出来，为了把好的知识传播下去。

下面代码只是得到一个返回最大值，可以在核心代码那注释输出的两行代码如下：

public class test {

  public static int getMaxValue(int[] weight, int[] value, int w, int n) {
    int[][] table = new int[n + 1][w + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) { //物品
      for (int j = 1; j <= w; j++) {  //背包大小
        if (weight[i-1] > j) { //i从1开始的需要减1
          //当前物品i的重量比背包容量j大，装不下，肯定就是不装
          table[i][j] = table[i - 1][j];
          System.out.print(table[i][j]+ " ");
        } else { //装得下，Max{装物品i， 不装物品i}
          //因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成
          //算法的核心table[i][j] = Math.max(table[i - 1][j], table[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
          table[i][j] = Math.max(table[i - 1][j], table[i - 1][j - weight[i-1]] + value[i-1]);
          System.out.print(table[i][j]+ " ");
        }
      }
       System.out.println();
    }
    return table[n][w];
  }

  public static void main(String[] args) {

   // int n = 6, w = 1000;                    //物品个数，背包容量
    //这下面的数组0是不能少的，以为集合从0开始，但是我们定义从下表1开始的。
    //int[] value = {6, 10, 3, 4, 5, 8};     //各个物品的价值
   // int[] weight = {200, 600, 100, 180, 300, 450};    //各个物品的重量
    int n=3,w=4;
    int[] value = {1500,3000,2000};
    int[] weight = {1,4,3};
    System.out.println(getMaxValue(weight,value,w,n));//得到最大价值

  }
}