算法时间复杂度的计算及分析

本文介绍了度量程序执行时间的两种方法,着重讲解算法时间复杂度。通过举例说明可忽略常数项,阐述了时间复杂度的定义、计算方法,列举常见时间复杂度,如常数阶O(1)、对数阶O(log2n)等,并说明了它们随问题规模n增大对算法执行效率的影响。

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算法的时间复杂度:

度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

  • 事后统计的方法 这种方法可行, 但是有两个问题:一是要想对设计的算法的运行性能进行评测,需要实际运行该程序;二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式,要在同一台计算机的相同状态下运行,才能比较那个算法速度更快。
  • 事前估算的方法 通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优。

举例说明-忽略常数项:

 

T(n)=2n+20

T(n)=2*n

T(3n+10)

T(3n)

1

22

2

13

3

2

24

4

16

6

5

30

10

25

15

8

36

16

34

24

15

50

30

55

45

30

80

60

100

90

100

220

200

310

300

300

620

600

910

900

结论:1. 2n+20 和 2n 随着n 变大,执行曲线无限接近, 20可以忽略

         2.3n+10 和 3n 随着n 变大,执行曲线无限接近, 10可以忽略 

时间复杂度:

  1. 时间复杂度 一般情况下,算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=O( f(n) ),称O( f(n) )  为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。
  2. T(n) 不同,但时间复杂度可能相同。 如:T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同,但时间复杂度相同,都为O(n²)。
  3. 计算时间复杂度的方法:
  • 用常数1代替运行时间中的所有加法常数  T(n)=n²+7n+6  => T(n)=n²+7n+1
  • 修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项  T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
  • 去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

常见的时间复杂度:1.常数阶O(1)     2.对数阶O(log2n)    3.线性阶O(n)     4.线性对数阶O(nlog2n)    5.平方阶O(n^2)   6.立方阶O(n^3)   7.k次方阶O(n^k)   8.指数阶O(2^n)

常见的算法时间复杂度由小到大依次为:Ο(1)<Ο(log2n)<Ο(n)<Ο(nlog2n)<Ο(n2)<Ο(n3)< Ο(nk) <Ο(2n) ,随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低。

常见时间复杂度的例子:

1.常数阶O(1):无论代码执行了多少行,只要是没有循环等复杂结构,那这个代码的时间复杂度就都是O(1)。

上述代码在执行的时候,它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长,那么无论这类代码有多长,即使有几万几十万行,都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

2.对数阶O(log2n) :

 

说明:在while循环里面,每次都将 i 乘以 2,乘完之后,i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后,i 就大于 2 了,此时这个循环就退出了,也就是说 2 的 x 次方等于 n,那么  x = \log _{2}n也就是说当循环 \log _{2}n 次以后,这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为:O(\log _{2}n)  。 O(\log _{2}n) 的这个2 时间上是根据代码变化的,i = i * 3 ,则是 O(\log _{3}n) . 

3.线性阶O(n)

 

说明:这段代码,for循环里面的代码会执行n遍,因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的,因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度。

4. 线性对数阶O(n\log _{2}n)

说明:线性对数阶O(n\log _{2}n) 其实非常容易理解,将时间复杂度为O(\log _{2}n)的代码循环N遍的话,那么它的时间复杂度就是 n * O(l\log _{2}n),也就是了O(n\log _{2}n) 。

5.平方阶O(n²)

说明:平方阶O(n²) 就更容易理解了,如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍,它的时间复杂度就是 O(n²),这段代码其实就是嵌套了2层n循环,它的时间复杂度就是 O(n*n),即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m,那它的时间复杂度就变成了 O(m*n) 。

6.立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

说明:参考上面的O(n²) 去理解就好了,O(n³)相当于三层n循环,其它的类似

 

上面是整理韩老师的ppt的出来的。

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