算法导论（五）--线性时间排序

排序最快可以有多快？这取决于具体的模型，具体来说就是排序过程中被允许的操作。目前我们已经知道的排序有插入排序（Θ(n ²)），归并排序（Θ(nlogn)），快速排序（Θ(nlogn)），堆排序（Θ(nlogn)），他们的复杂度都不低于Θ(nlogn)，那么有没有一种排序复杂度可以低于Θ(n)呢？
上面的四种算法都有一个共同点，它们一次只能比较两个数。在这种比较排序这种模型中，我们只能做比较操作来决定元素的相对顺序。比较排序的算法的运行速度永远不会快于nlogn。而不用比较排序时算法速度可以快于nlogn，甚至可以达到n。

决策树与比较排序

假设要对三个数进行排序，<a1, a2, a3>，决策树如下图：

树上的每一个节点表示一次比较操作，比较a1和a2，如果a1≤a2，走左子树，否则走右子树，当到达叶节点，就得到了一个答案。例如：a1=9, a2=4, a3=6，排序过程如上图红色路线所示。
决策树成长得很快，每一个非叶节点都会有一个下标i:j，i和j在1～n之间，表示要比较a_i和a_j的大小，并且每个非叶节点都有两个子树，左子树表示a_i≤a_j的情况下算法要做什么，后续要进行哪些比较，右子树表示a_i>a_j的情况。每个叶节点代表了一个排序结果。决策树就是把比较的所有可能结果列出来。
比较排序算法中，如果挑出一条特定的算法执行路径，它就对应决策树中一条从根节点到叶节点的路径。算法执行路径的运行时间，或者比较的次数就是对应决策树的深度。因此对于n个元素的输入，最坏的运行时间就是最长路径，也就是决策树的高度。
我们现在要证明所有的比较排序算法对应的决策树的高度至少是nlogn。
首先，叶节点的数目是n!。
其次，假设树的高度为h，那么叶子节点最多有2^h个。
也就是说，2^h≥n!，那么h≥log₂n!，
由斯特林公式，$n!\approx \sqrt{2\pi n}$