【爆炸记】一元一次方程(slon)

最新推荐文章于 2023-02-01 11:07:15 发布

PI_RE

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分类专栏：数学数论

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文章目录

前言
题目
解析
Code

前言

~~毫无疑问，这次考试又爆炸了QwQ，我果然还是太蒟蒻了啊~~

身边围绕着一群苣佬，真不好受qAq

好不容易看出来这道题怎么做了，却又不知道怎么实现。。。蓝瘦香菇

题目

题目描述

$S L O N$ 是一个调皮的学生，为了让他静下心来，老师给他出了一道数学题：

给定表达式 $A$ ， $A$ 中含有变量 $x$ 和 $+,\ -,\ *,\ (,\ )$ 这些符号，括号成对出现，一个算术运算符均对应两个操作数，不能出现 $(- 5)$ 或者 $(4 + - 5)$ 等，乘号不能省略，并且表达式 $A$ 中 $x$ 只能是一阶，即一阶表达式：

合理表达式 $2)\ or\ x + 3∗x+4∗(5+3∗(2+x−2∗x)).$

不合理表达式 $A=5∗(3+x∗(3+x))\ or\ x∗(x+x∗(1+x)).$

求 $A\mod M==P$ 时，最小的 $x$

输入格式

The ﬁrst line of input contains the expression $A$ ( $1 \leq ∣ A ∣ \leq 100000$ ).

The second line of input contains two integers $P$ ( $0 \leq P \leq M - 1$ ) ， $M$ ( $1 \leq M \leq 1000000$ ).

The arithmetic expression $A$ will only consists of characters $+, -, *, (,), x$ and digits from $0$ to $9$ .

The brackets will always be paired, the operators $+$ , $-$ and $*$ will always be applied to exactly two values (there will not be an expression $(- 5)$ or $(4 + - 5))$ and all multiplications will be explicit (there will not be an expression $4 (5)$ or $2 (x))$ .

输出格式

输出最小的非负 $x$

样例

样例输入1

5+3+x
9 10

样例输出1

样例输入2

20+3+x
0 5

样例输出2

样例输入3

3*(x+(x+4)*5)
1 7

样例输出3

解析

题目描述已经规定了 $x$ 的阶数为 $1$ ，也就是说它最多只能为一次方。那么这个式子一化简，就可以得到一个一元一次方程了吧。

然后令 $f (x) = a x + b$ ，也就是这个方程，那么 $f (0)$ 就等于 $b$ ，还有 $f (1)$ 等于 $a + b$ ，既然都得到这两个值了，也就可以暴力了吧 ~~/xyx（不知道有木有人知道 $Q Q$ 的表情哇）~~

当然我在考试的时候想的是用 $e x g c d$ 求解，但是不知道为什么玄学TLE，炒鸡绝望有木有QwQ

当然，说是这么简单，但是实现起来就不是太简单了。首先，数据给的是中缀表达式，但是计算机无法识别，所以我们就得自己计算式子的值。

~~然而，我不会中缀表达式求值。。。。~~，所以只能转成后缀表达式求值了呢。。。

不会中缀转后缀的童鞋可以参考下这篇博客，这里就不赘述了

话说学 $p y t h o n$ 的同学是不是就很幸福了啊，高精度三行（~~一行？？~~）代码就OK，中缀表达式求值竟然只需要一行！一行！一行！！！

print (eval (input ()))

_{我想转学 $p y t h o n$ 了QAQ}

可是光中缀转后缀还不够，转完后还要计算（~~当然相比起来计算也就不是太难了~~）

总的来说，这个代码小的坑点还是比较多的，也有些细节需要考虑，洋洋洒洒算下来，我竟然用了半天_{加下午二十分钟}才 $A C$ ，我果然是个蒟蒻QwQ

同时，大家可以从我的代码注释中看出我的艰辛心路历程：

在这里插入图片描述

本来是用两个 $s t r i n g$ 来存和更改的，结果没想到 $R E$ ，结果改成 $i n t$ 数组后果断对了三个点，一上午都 $WA\ 0$ 分的我当时那个激动啊~~~，于是再接再厉，玄学取模一加上，立马幸运之神就来了 $23333$ _{爱是一道光，绿的你心旷神怡}

更详细的解释代码里面都有，可以结合着看看

Code

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
#define reg register
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define int long long

template<typename T>
void re (T &x){
    x = 0;
    int f = 1;
    char c = getchar ();
    while (c < '0' || c > '9'){
        if (c == '-') f = -1;
        c = getchar ();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9'){
        x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
        c = getchar ();
    }
    x *= f;
}

template<typename T>
void pr (T x){
    if (x < 0){
        putchar ('-');
        x = ~x + 1;
    }
    if (x / 10) pr (x / 10);
    putchar (x % 10 + 48);
}

string A;
int p, m, a, b, lena, lenb;
int B[100005], cnt;
bool vis[100005];
stack<char> S;

vector<int>pos;

int cmp (char s){
    if (s == '(')
        return 0;
    else if (s == '+' || s == '-')
        return 1;
    else return 2;
}

int fix (int x){    //神仙取模 OTZ %%%
    return (x % m + m) % m;
}

void transfer (string A){
    lena = A.length ();
    for (int i = 0; i < lena; i++){
        if (A[i] >= '0' && A[i] <= '9'){    //原本是直接“截取”到B中，但是下面有讲坏处，所以改为整形+打标
                                            //双重判定是数字还是x还是运算符
            /*int j;
            for (j = i; j < lena && A[j] >= '0' && A[j] <= '9'; j++)
                B += A[j];
            B += ' ';
            i = j - 1;*/
            if (i != 0 && A[i - 1] >= '0' && A[i + 1] <= '9'){
                B[cnt] = fix (B[cnt] * 10 + A[i] - 48);
            }
            else B[++cnt] = A[i] - 48;
        }
        else if (A[i] == 'x'){
            /*B += A[i];
            B += ' ';*/
            B[++cnt] = A[i];
            vis[cnt] = 1;    //打标
        }
        else if (A[i] == '(')
            S.push (A[i]);  //是左括号的话直接放栈，遇到右括号再处理
        else if (A[i] == '+' || A[i] == '-' || A[i] == '*'){
            if (S.empty ()){    //如果说栈里没有的话就直接放（蒟蒻在这都调了五分钟。。）
                S.push (A[i]);
                continue;
            }
            char c1 = A[i], c2 = S.top ();  //判断优先级，左括号最低，加减次之，乘最高
            int lev1 = cmp (A[i]), lev2 = cmp (S.top ());
            if (lev1 > lev2) S.push (A[i]); //要维持一个栈中优先级递增的序列，因为可能后面有比他更高或相等的
                                            //所以到下一个运算符时在判断前一个可不可以输出
            else{
                //如果说栈里的都比他大或等于，就说明前面的优先输出，一直到小于才放进去
                while (!S.empty () && lev1 <= cmp (S.top ())){
                    /*B += S.top ();
                    B += ' ';*/
                    B[++cnt] = S.top ();
                    vis[cnt] = 1;
                    S.pop ();
                    /*if (!S.empty ())
                        lev2 = cmp (S.top ());*/
                }
                S.push (A[i]);
            }
        }
        else{
            while (S.top () != '('){    //如果说遇到右括号，那么这个括号里的内容都输完了，可以直接全部输到B里了
                /*B += S.top ();
                B += ' ';*/
                B[++cnt] = S.top ();
                vis[cnt] = 1;
                S.pop ();
            }
            S.pop ();   //把左括号也输出去
        }
    }
    while (!S.empty ()){    //如果说这一串都输完了，和上同理
        /*B += S.top ();
        B += ' ';*/
        B[++cnt] = S.top ();
        vis[cnt] = 1;
        S.pop ();
    }
}

void solve (int x){
    /*for (int i = 0; i < pos.size (); i++)
        B[pos[i]] = x + '0';*/
    //cout << B << endl;
    stack<int> S2;
    for (int i = 1; i <= cnt; i++){
        if (!vis[i]){   //vis为零，说明数字
            /*int j, num = 0;
            for (j = i; j < lenb && B[j] >= '0' && B[j] <= '9'; j++)
                num = ((num << 1) % m + (num << 3) % m + B[j] - '0') % m;
            i = j - 1;*/
            S2.push (B[i]);
        }
        //else if (B[i] == ' ') continue;
        else if (B[i] == 'x'){  // !vis上面判完了，下面都是符号或x
            S2.push (x);
        }
        else{
            int xx = S2.top (); S2.pop ();
            int yy = S2.top (); S2.pop ();
            switch (B[i]){
                case '+': S2.push (fix (xx + yy)); break;
                case '-': S2.push (fix (yy - xx + m)); break;   //这里坑了我最久，如果说是减，被减数先放进去，在后面
                                                                //而且减法先加再膜怕负数
                case '*': S2.push (fix (1ll * xx * yy)); break;
            }
        }
    }
    if (x == 0) b = S2.top ();
    else a = S2.top () - b;
}

signed main (){ //这道题主要是神仙取模，不知为何一取就对。。。
    cin >> A;
    //re (p); re (m);
    cin >> p >> m;
    transfer (A);   //因为A是中缀表达式，所以把它转为后缀（中缀不会只能后缀QwQ）
    //cout << B << endl;
    //lenb = B.length ();   //本来开始是用的string来存，但是有坏处，如果不加分割可能会将两个数读成一个数
    /*for (int i = 0; i < lenb; i++)    //但是这样做会爆栈（猜的RE）
        if (B[i] == 'x')
            pos.push_back (i);*/
    solve (0);  //令f(x) = ax + b，则f(0) = b, f(1) = a + b，可以借此算出两个数，暴力找解
    solve (1);
    for (int i = 0; i < m; i++)
        if (fix (a * i + b) == p){
            //pr (i);
            //putchar (10);
            cout << i << endl;
            return 0;
        }
    return 0;
}

但是为什么 $e x g c d$ 会 $T$ 两个点呢？？

大神求解QAQ，请神犇在评论区留言谢谢 ~~/bq~~

LL exgcd (LL a, LL b, LL &x, LL &y){
    if (!b){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    LL r = exgcd (b, a % b, y, x);
    y -= x * (a / b);
    return r;
}


int main (){
    LL gcd = exgcd (a, m, x, y);
    x = x * (p - b) / gcd;
    //cout << fix (x) << endl;
    while (x < 0) x += m / gcd;
    while (x >= 0){
        if (x - (m / gcd) >= 0)
            x -= m / gcd;
        else break;
    }
    cout << x << endl;
}