OpenCV--拟合平面

项目场景：

在三维空间中，如何通过一组离散的3维坐标来拟合平面空间，使得任意一组空间坐标**（Px, Py, Pz）**在平面方程上。

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问题描述

给定n个三维点的坐标，根据这些点坐标由最小二乘法拟合平面。

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原因分析：

平面方程一般为Ax+By+Cz+D = 0，为了方便计算这里将平面方程变形为z=Ax+By+C;

像素坐标通过相机内参及外参数矩阵可以得到n个三维点坐标，理想情况下应满足
$$\{\begin{array}{c}{z}_0=A{x}_0+B{y}_0+C\\ z_1=A{x}_1+B{y}_1+C\\ \cdots \end{array}$$
但由于测量误差的存在，三维点并不都严格符合在一个平面上，所以上述方程无解，需要用最小二乘法来求解上述方程组。

解决方案：

构建方程目标函数：
$$J(A,B,C)=\sum _{i=0}^n{\left(A{x}_i+B{y}_i+C-z_i\right)}^2$$
求解A,B,C 使得损失函数J最小，采取最小二乘法，分别对A,B,C求偏导，令其偏导数均为0，如下所示：
{ ∂J/∂A=2∗∑i=0n(Axi+Byi+C−zi)∗xi=0∂J/∂B=2∗∑i=0n(Axi+Byi+C−zi)∗yi=0∂J/∂C=2∗∑i=0n(Axi+Byi+C−zi)=0 \left\{\begin{array}{c} \partial J / \partial A=2 * \sum_{i=0}^n\left(A x_i+B y_i+C-z_i\right) * x_i=0 \\ \partial J / \partial B=2 * \sum_{i=0}^n\left(A x_i+B y_i+C-z_i\right) * y_i=0 \\ \partial J / \partial C=2 * \sum_{i=0}^n\left(A x_i+B y_i+C-z_i\right)=0 \end{array}\right.