通俗理解贝叶斯公式

前几天文工团一道考试题火了。

三个相同的盒子里各有2个球,其中一个盒子里放了2个红球,一个盒子里放了2个蓝球,一个盒子里放了红球和蓝球各一个。随即选择一个后,从中随机摸出一球是红球,则这个盒子里另一个球是红球的概率为()。
A 1/2,B 3/4,C 2/3, D 4/5。

浙大博士质疑不应该是1/2。本来以为浙大博士出马,大部分人应该会信服,结果多数人认为是1/2,狠批浙大博士水货。看来本科率不足百分之四,国内教育任重道远呐。

这太违背我们的直觉了。让人哭笑不得的是:有些人套用公式得出2/3,但他们依旧大声的说 就 是 1/2.

好吧,我们来推翻这种直觉思维。

最简单的穷举法:摸球总共有以下六种情况:
在这里插入图片描述
显然符合第一次摸出为红球的只有前三种情况。第二次摸出红球的概率,就是三选二。

看了上述的情况,发现有两个篮球的箱子根本用不到。我们去掉这个箱子。
在这里插入图片描述
如果不加任何条件。在两者中选,选择哪个箱子的概率都是1/2.

现在加了条件了。第一次摸出个红球,求这个箱子里是两个红球的概率。原来不加条件是1/2.现在加了条件,当然不可能还是1/2了。

求解,简单的条件概率啦。
事件A={第一次摸球是红球} 事件B={第二次摸球是红球}
P(AB)=1/3 三个箱子选有两个红球的箱子的概率是1/3
P(A)=1/2 共6个球,3个红球,选红球的概率是1/2
终得P(B|A)= 2/3.

思路二,去掉含两个蓝球的箱子。
P(AB)=1/3 两个箱子选有两个红球的箱子的概率是1/2
P(A)=1/2 共4个球,3个红球,选红球的概率是3/4
依旧是P(B|A)= 2/3.

说到条件概率,不得不说贝叶斯公式
在这里插入图片描述在这里插入图片描述

初看这两个公式没什么大不了的。高中学过的条件概率公式:事件A和事件B同时发生的概率,等于事件A发生的概率,乘以事件A发生的情况下事件B发生的概率。也等于事件B发生的概率,乘以事件B发生的情况下事件A发生的概率。

我们把第一个公式稍作变换,
在这里插入图片描述
再把P(AB)替换成第二个公式,得到
在这里插入图片描述
这个公式就是贝叶斯公式的前身。或者说最简单的贝叶斯公式。什么,贝叶斯公式就这么简单,是的,贝叶斯公式就是将原来的两个条件概率公式组合了一下。

我们再做变换,分解P(A),
在这里插入图片描述
P(B-)是事件B不发生的概率。

事件A发生的概率,等于事件B发生的概率乘以事件B发生的情况下,事件A发生的概率,加上事件B未发生的概率乘以事件B未发生的情况下,事件A发生的概率。也就是说不管事件B发不发生,事件A都要发生的概率。

我们结合上述两式得到:
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
事件B不发生,可以分解成多个事件。B1,B2,B3…

分解在这里插入图片描述可以得到
在这里插入图片描述
用符号∑相加起来。就是最终的贝叶斯公式。
在这里插入图片描述
有没有发现,分子分母很相似。
在这里插入图片描述
我们用案例来了解一下贝叶斯公式的思想。

一户人家在过去的2年里共发生了2次被盗案件,房子的主人养了一只狗,狗每天叫五次,在盗贼入侵时狗叫的概率为0.9,求:狗叫的时候发生入侵的概率是多少?

套用贝叶斯公式:事件A={狗叫} 事件B={盗贼入侵}
P(A|B)P(B)=0.9X2/20X365 P(A)=1
终得P(B|A)=0.0005.
狗叫时,盗贼入侵得概率太低了。说明依靠狗叫来判断盗贼入侵不靠谱。这只狗是哈士奇吧。

贝叶斯就是描述有多大把握信服A事情的发生,会发生另一件事情B。

假设这户人家养了只边牧,很聪明,很少叫,一个月叫一次,盗贼入侵时,会叫的概率0.9999,几乎一定会叫。套用公式得到,狗叫的时候发生入侵的概率为0.08.看来即使是边牧在叫时,也基本不用考虑是盗贼入侵了。虽然狗见了盗贼几乎一定会叫,但盗贼入侵的情况太罕见了。

贝叶斯公式包含的思想很多,包括极大似然估计、最大后验概率估计、先验、后验等等,这里就不涉及了。可以说吃透贝叶斯就夯实了概率论和统计的基础。

<think>好的,我需要帮用户理解贝叶斯优化的通俗解释和入门教程。用户希望简单易懂,所以得避免太多数学公式,用比喻或日常例子来说明。 首先,贝叶斯优化的核心是什么?它主要用于优化黑箱函数,尤其是在计算成本高的情况下。比如调参,用户可能知道网格搜索和随机搜索,但贝叶斯更高效。我需要对比这些方法,突出贝叶斯的优势。 然后,组成要素有两个:代理模型(比如高斯过程)和采集函数(如EI)。高斯过程可能比较难解释,得用个简单的例子,比如根据已有的点预测未知区域的函数表现,同时考虑不确定性。采集函数的作用是平衡探索和利用,这部分可以用选择下一个点的策略来说明。 步骤分四步,初始化、代理模型拟合、选择下一个点、更新模型。这里需要一步步解释,让用户明白迭代的过程。 应用场景方面,调参和自动化实验设计是常见的例子,用户可能接触过,这样更容易理解。 最后,生成相关问题,要围绕用户可能有的疑问,比如与网格搜索的区别,高斯过程的作用,为什么适合计算成本高的场景,以及采集函数的种类。 需要确保引用正确,参考提供的引用资料,比如引用[1]提到贝叶斯优化在超参数调优中的应用,引用[2]展示调参结果,引用[5]提到EI方法。保持语言口语化,避免术语堆砌,让入门者也能跟上。</think>### 贝叶斯优化通俗解释 贝叶斯优化是一种**智能调参方法**,专门用于在**未知黑箱函数**中快速找到全局最优解。它的核心思想是“用最少尝试,猜最可能的最优值”,类似于“盲人摸象时通过触感逐步定位象鼻的位置”。 #### 核心组成 1. **代理模型(如高斯过程)** 通过已有实验数据,构建一个概率模型来预测未知区域的函数表现。例如: - 已尝试参数组合 $\{x_1, x_2\}$ → 对应效果 $\{y_1, y_2\}$ - 代理模型会预测新参数 $x_3$ 的效果 $y_3$ 的可能范围(比如:$y_3$ 在 $[0.6, 0.8]$ 的概率为 90%) 2. **采集函数(如EI, Expected Improvement)** 决定下一步尝试哪个参数,平衡两种策略: - **探索**:尝试不确定性高的区域(可能发现新高峰) - **利用**:围绕当前最优值附近精细搜索 #### 工作步骤 1. **初始化**:随机选几个参数组合试水(如随机选 5 组超参数) 2. **代理模型拟合**:用高斯过程建模“参数→效果”关系 3. **选下一个点**:用采集函数计算收益最大的参数 4. **更新模型**:加入新实验结果,重复步骤 2-4 直至收敛 #### 应用场景 - **超参数调优**:如 XGBoost 的 `max_depth`、`learning_rate` 等参数优化(参考引用[2]) - **自动化实验设计**:化学实验中寻找最佳反应条件 - **资源有限场景**:每次实验耗时/昂贵时(如训练大模型) ```python # 示例代码(使用BayesianOptimization库) from bayes_opt import BayesianOptimization def black_box_function(x, y): return -x**2 - (y-1)**2 + 1 # 假设这是需要优化的黑箱函数 optimizer = BayesianOptimization( f=black_box_function, pbounds={'x': (-2, 2), 'y': (-3, 3)}, # 参数范围 ) optimizer.maximize(init_points=2, n_iter=10) # 初始2点,迭代10次 print(optimizer.max) # 输出最优参数组合 ``` #### 优势 vs 传统方法 | 方法 | 特点 | 适用场景 | |------|------|----------| | 网格搜索 | 暴力遍历所有组合 | 参数少且快 | | 随机搜索 | 随机采样 | 中等规模 | | **贝叶斯优化** | 智能定向搜索 | 参数多/实验成本高 | [^1]: 参考引用[1][6][9]中对贝叶斯优化框架的说明 [^2]: 引用[2][5]中的调参实例与EI函数解释
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