斐波那契的几种思路,你都会吗

最新推荐文章于 2025-11-11 12:27:49 发布

原创最新推荐文章于 2025-11-11 12:27:49 发布 · 置顶 · 1.3k 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#算法 #斐波那契 #矩阵快速幂

算法专栏收录该内容

21 篇文章

订阅专栏

本文探讨了递归、数组、迭代和矩阵快速幂四种方法计算斐波那契数列，重点介绍了矩阵快速幂的对角化技巧，以提高时间复杂度到O(logn)，并讨论了精度问题。

文章目录

递归
数组
迭代
矩阵快速幂
对角化(通项)

茴字的四种写法,你都会么?

递归

时间>O(n)
空间O(1)

int fibo(int n){
    if(1==n || 2==n)	return 1;
    return fibo(n-1) + fibo(n-2);
}

数组

时间O(n)
空间O(n)

#define MAXN 100
int fibo(int n){
    int dp[MAXN];
    dp[0] = 0; dp[1] = 1;
    for(int i=2; i<=n; i++){
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
    }
    return dp[n];
}

迭代

时间O(n)
空间O(1)

int fibo(int n){
    int f1=1, f2=1, f;
    while(n>=3){
        n--;
        f = f1+f2;
        f1 = f2;
        f2 = f;
    }
    return f;
}

矩阵快速幂

时间O(logn)
空间O(1)

已知 $\Large x_{t+1} = x_t + x_{t-1}$ , 令 $\Large X_t=[x_{t-1}, x_t]^T$ , 则有
$\Large X_{t} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}X_{t-1} =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{t-1}X_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{t-1}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

Eigen::Matrtix2f fast_power(Eigen::Matrix2f& mat, int n){
    if(0 == n)	return Eigen::Matrix2x::Identity();
    if(1 == n)	return mat;
    if(n&2) return mat*fast_power(mat, n-1);
    Eigen::Matrix2f tmp = fast_power(mat, n>>1);
    return tmp*tmp;
}

int fibo(int n){
    Eigen::Matrix2f base;
    base << 0, 1, 1, 1;
    Eigen::Matrix2f X1;
    X1 << 0, 1;
    return (int)(fast_power(base, n-1)*X1)[1];
}

对角化(通项)

时间O(1)
空间O(1)

在上式中, 令 $\Large A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ , 得到两个特征值 $\Large \lambda_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \lambda_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ , 以及对应的特征向量 $\Large \eta_1=\begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}, \eta_2=\begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$ . 那么很容易将 $\Large A$ 对角化:
$\Large A = P^{-1} \Sigma P$
其中 $\Large \beta_1 = \frac{\eta_1}{|\eta_1|}, \beta_2 = \frac{\eta_2}{|\eta_2|}, P = [\beta_1, \beta_2], \Sigma=diag(\lambda_1, \lambda_2)$ . 这里由于 $\Large \eta_1, \eta_2$ 属于不同的特征值,已经能够保证正交,因此不需要额外的正交化.

那么有
$\Large A^{t} = (P^{-1}\Sigma P)^t = P^{-1}\Sigma^t P$
那么前面求 $\Large X_t$ 也变得简单了
$\Large X_{t} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{t-1}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = A^{t-1}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = P^{-1}\Sigma^{t-1} P \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
上式中, $\large P$ 是一个二阶方阵,求逆计算量并不大. $\Large \Sigma$ 是一个二阶对角阵, 幂方也只需要给对角线元素幂方即可. 上式的计算量其实并不大.