博弈论学习小记

参考
https://www.cnblogs.com/Wolfycz/p/8430991.html
http://www.cnblogs.com/frog112111/p/3199780.html

引言

取石子游戏：A和B两人轮流取走共n颗的石子，每次可取1,2或3颗。A先取，取走最后一颗石子的人获胜。
思考：A有没有必胜的策略？
分析：当n为0,4,8,12……时，A必定会输，因为不论A取多少，B只要和A共同取走4即可；当n不为0,4,8,12……时，A只需要将n取成4的倍数，这样就变成了B先取，B一定会输，所以A一定会赢。
也就是说，对这个游戏而言，0,4,8,12……这些状态是对于先手的必败状态，而其他状态是对于先手的必胜状态。
以此类推，如果每次不一定取1,2,3颗，而是取1∼m颗，那么就可以得到，如果n%(m+1)=0，即为先手必败状态，否则为先手必胜状态。而这个游戏就是著名的巴什博弈（Bash Game）。博弈的许多题目就是从巴什博奕变换而来的。

一、实例S-Nim及解题分析
题目链接
Input
2 2 5
3
2 5 12
3 2 4 7
4 2 3 7 12
5 1 2 3 4 5
3
2 5 12
3 2 4 7
4 2 3 7 12
0
Sample Output:
LWW
WWL

题目大意：
此题在Nim游戏的基础上加了条件，给出一个集合S={s1,s2,…,sk}k个正整数，A、B每次取石子的数目必须是集合里的数，拿最后一个珠子的人获胜。
k s1 s2 … sk
m
n1 x1 x2 … xn
n2 x1 x2… xn
…
nm x1 x2… xn
给出一个数k，代表集合S的大小，接下来紧跟着k个数，表示集合S里的数。接下来一行数为m代表有m个游戏，后面m行每行第一个数字为n代表有n堆石子，后面紧跟着n个数x1…xn代表每堆石子的个数。
输出n个字母，第i个字母为“W”代表第i个游戏先手必胜,“L”代表第i个游戏先手必败。
注意：对于状态可能有循环时，需要注意平局的情况，但这个游戏中石子数是始终减少的，所以不存在这种状况。

解题思路：
这道题比巴什博奕看起来要难一些。我们的问题仍然是求知A是否还有必胜策略。第一想法是dp做，但状态数太多，搜索和动态规划都无法完成，就需要考虑别的方法。
需要寻找哪些状态是P状态，哪些是N状态。
算法设计：
引入SG（Sprague-Grundy）函数
f(v)=mex{f(u)∣u为v的后继状态}
它的自变量是任意整数集合，函数值是不属于该集合的最小自然数。
mex(A)=min{k|k∈∁NA}
mex（S）为求出不属于集合S的最小非负整数的运算。
SG（n）对应的值就是《挑竞》中说的Grundy值。
根据当前状态的grundy值是除任意一步所能转移到的状态的Grundy值以外的最小非负整数这个性质来计算Grundy值。
这样的grundy值，和Nim中的一个石子堆类似，有下列性质
1.Nim中有x颗石子的石子堆，能够转移成有0,1，…,x-1颗石子的石子堆
2.从Grundy值为x的状态出发，可以转移到grundy值为0,1，…，x-1的状态。
与Nim不同的是，转移后的Grundy值有可能增加。
对于Nim，需要把所有堆的石子异或一遍，最后得到的值若为0则是必败态，非0则为必胜态。
而对于此题，SG(G)=SG(1) xor SG(2) xor SG(3)…xor SG(m)
某个局面必败，当且仅当该局面对应的SG函数值>0
某个局面必败，当且仅当该局面对应的SG函数值=0（没办法再拿出石子）
简单说，终止状态的SG值显然为0，并且SG值为0的状态就是P状态，SG值不为0的状态就是N状态。
即与处理Nim问题同理。

注意对于sg(x)的理解（想了好久）
下面是一个例子，有助于对sg函数的理解（并不是简单的集合的数+1，而是需要递推关系所得）：
有1堆n个的石子，每次只能取{1，3，4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

sg[0]=0，f[]={1,3,4},
x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;
x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；
x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1；
x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;
x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；
以此类推…
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8…
sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1…

3、关键代码(sg函数的计算）

sg[x] x表示的是石子数
sg[x]表示石子数=x的状态时能取到的不属于集合S的最小非负整数
size是k（集合s的元素个数）

    const int N=1e2,M=1e4;
    int S[N+10],sg[M+10];
    bool vis[N+10];
    int size;
    	void prepare(){
        memset(sg,0,sizeof(sg));//每次游戏都要算一次sg
        for (int i=1;i<=M;i++)//   i代表的是石子数
        {
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            for (int j=1;j<=size;j++)
            {                   //      j<=k  (所能取的石子数集合元素个数）
                if (i<S[j]) break;         //如果石子数<所能取的石子数 跳出
                vis[sg[i-S[j]]]=1; 
      //递推表达式否则标记vis[sg[剩下的石子数]=(之前计算的sg[])]=1
            }
            for (int j=0;j<=N;j++)  if (!vis[j]){sg[i]=j;break;} sg[]=最小能取的个数
        }
    }