数列互质

最新推荐文章于 2023-04-17 20:26:43 发布
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#莫队

该博客介绍了如何利用莫队算法解决一个数学问题：给定数列，求区间内数的出现次数与指定数互质的个数。博主分享了题目的输入输出格式、数据范围及样例，并分析了使用莫队算法解决此问题的思路，重点在于每次操作的时间复杂度为√n，并给出了实现算法的代码片段。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

题目描述

给出一个长度为 的数列 ，以及 组询问 ，求区间 中有多少数在该区间中的出现次数与 互质。
输入格式
第一行，两个正整数 。

第二行， 个正整数 描述这个数列。

接下来 行，每行三个正整数 ，描述一次询问。
输出格式
输出 行，即每次询问的答案。
样例
样例输入

10 5
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
4 7 2
4 7 3
4 8 2
4 8 3
3 8 3
样例输出

0
2
1
1
0
数据范围与提示

a[i]<=n<=5*1e4

题解&&分析

这道题是真的恐怖，感觉自己还是太傻了
首先，我们不难想到用莫队解决这个问题，这样我们就可以把每个数在当前范围内的出现次数算出来
算一次的时间复杂度是根号n的时间复杂度。这也是这道题的重点，也就是说我们更改的数是不会超过根号n的。
我们就可以把出现次数的个数存起来，遍历过的点的次数存起来(每次都要存)然后跑一边循环，如果某一个次数满足条件，那么这类的次数都可以满足了

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN = 50003*4;
int n , m , k;
int belong[MAXN];
struct node
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代码源oj每日刷题
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ysheng
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等比数列求和
最新发布
03-18
<think>好的，用户现在想了解等比数列的求和公式及其实现方法。首先我需要回忆一下等比数列的基本概念。等比数列是每一项与前一项的比值都相等的数列，这个比值称为公比，通常用$r$表示。首项为$a_1$，那么第n项就是$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$。 接下来，用户需要的是求和公式。根据记忆，等比数列的求和公式有两种情况，取决于公比$r$是否为1。如果公比等于1，那么所有项都是首项，总和就是$n \cdot a_1$。如果公比不等于1，那么公式应该是$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$。不过需要确认这个公式是否正确，可能需要查阅参考资料。 用户提供的引用中，引用[2]提到等比数列求和公式，确认了公式的正确性，特别是当公比不等于1时的情况。所以这个部分没问题。 用户还提到了实现方法，特别是取模的情况。在引用[1]中，用户提到直接相加可能不适用，尤其当数据量大的时候，这时候需要用公式计算，但涉及到除法取模的问题。通常，处理除法取模需要使用模逆元，也就是用乘法逆元来代替除法。例如，计算$\frac{a}{b} \mod p$时，可以转化为$a \cdot b^{-1} \mod p$，其中$b^{-1}$是$b$在模$p$下的逆元。这需要保证$b$和$p$互质，通常当$p$是质数时，可以使用费马小定理来求逆元，即$b^{-1} = b^{p-2} \mod p$。 因此，在实现时，如果用户需要计算等比数列的和并对结果取模，必须处理分母$1 - r$的逆元问题。例如，当$r \neq 1$时，公式中的分母$1 - r$需要用逆元来处理。如果模数$p$是质数，且$1 - r$和$p$互质，那么就可以用快速幂算法计算逆元。 接下来需要给出具体的实现步骤和代码示例。需要注意，当公比$r=1$时，直接返回$a_1 \cdot n \mod p$。否则，计算分子$(1 - r^n) \mod p$，然后乘以$a_1$的模，再乘以分母的逆元。同时，当$r > 1$时，计算$r^n$需要用快速幂算法，以降低时间复杂度。 可能需要考虑一些边界情况，比如当$r=0$时的情况，或者当$n=0$时的和。不过根据常规的等比数列定义，n应该从1开始，所以可能需要确认用户的需求是否包括这些情况。 另外，用户引用的内容中还提到了调和级数，但这个问题可能不相关，所以暂时不需要考虑。 最后，生成相关问题，需要围绕等比数列的应用、优化、与其他数列的比较等方面提问，例如如何用递归实现，或者处理大数情况下的问题。</think>### 等比数列求和公式及实现方法 #### 1. 等比数列求和公式 设等比数列首项为$a_1$，公比为$r$，前$n$项和为$S_n$： - 当$r \neq 1$时： $$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$$ - 当$r = 1$时： $$S_n = a_1 \cdot n$$[^2] #### 2. 实现方法（含取模优化） 当需要计算$S_n \mod p$时，直接使用公式会遇到除法取模问题。**优化思路**： 1. 用**快速幂**计算$r^n \mod p$ 2. 用**模逆元**将除法转换为乘法（需$p$为质数且$1-r$与$p$互质） **Python实现示例**： ```python def quick_pow(a, b, mod): res = 1 while b: if b % 2: res = res * a % mod a = a * a % mod b //= 2 return res def geometric_sum(a1, r, n, mod): if r == 1: return a1 * n % mod numerator = (1 - quick_pow(r, n, mod)) % mod denominator_inv = quick_pow(1 - r, mod-2, mod) # 费马小定理求逆元 return a1 * numerator % mod * denominator_inv % mod ``` #### 3. 代码说明 - `quick_pow`实现快速幂算法，时间复杂度$O(\log n)$ - 当$r=1$时直接返回$a_1 \cdot n \mod p$ - 通过计算$(1-r)^{p-2} \mod p$得到分母的逆元[^1] #### 4. 应用场景 - 密码学中的大数计算 - 组合数学问题 - 金融复利计算
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