复杂度分析（二）

1.有些特殊场景会用到下面几个时间复杂度

 最好、最坏、平均、均摊时间复杂度

2.概念介绍

   最好情况时间复杂度：在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

   最坏情况时间复杂度：在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

   平均情况时间复杂度：最好和最坏时间两个极端情况，并不能描述一般情况。所以来了个平均的。

   均摊情况时间复杂度：一种特殊的平均情况时间复杂度。可以用简单的摊还分析法得出。

3.举个例子

    3.1 平均时间复杂度

   查找某个元素是否在数组中，如果在就返回下表。

// n 即数组array的长度
int get(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

  最好情况第一个就是时间复杂度为O(1),最坏的就是遍历完整个数组，O(n)

   平均情况时间复杂度，分析下，查找元素X，可能是在0到n-1 的某个位置或者不在数组中。直接把遍历元素加起来除以n+1.

    

     忽略系数，低阶，常量。平均时间复杂度为O（n）

   换一种比较简单的分析方法，在不在数组中的概率为1/2 。在0～n-1个位置，被查找元素的出现的概率为1/n。根据概览乘法规则，在0到n-1中，任意一个位置出现的概览为1/2n。

最后一项，n/2，我的理解就是元素没在数组中情况的概率。不在数组中的概率1/2，n种情况。

综上，平均时间复杂度为O（n）

3.2 摊还时间复杂度

  代码就是用来往数组中插入数据，有空闲直接插入，没有空闲，则相加，然后把和赋值给数组第一个元素。

 // array 表示一个长度为 n 的数组
 // 代码中的 array.length 就等于 n
 int[] array = new int[n];
 int count = 0;
 
 void insert(int val) {
    if (count == array.length) {
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }

    array[count] = val;
    ++count;
 }

  如果按照平均时间复杂度的分析方法，有空闲的时候，插入，时间复杂度为O（1）没有空闲，时间复杂度为O（n）

   每种情况发生的概览为 1/n+1，加权平均计算方法，求得平均时间复杂度。

   

   n个O（1），最后一个是O（n）

   换一种简单的分析方法，摊还分析法。

    每一次O（n）的操作之后，都会伴随着n-1次O（1）的操作，如果把O（n）耗时多的操作，均摊到n-1次耗时少的操作上，这样均摊下来。均摊时间复杂度就为O（1）了。

 

 

参考资料：《数据结构与算法之美》