最长回文子串（动态规划与中心扩展法）

最长回文子串

力扣中的题目

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。

示例 1：

输入: “babad” 输出: “bab” 注意: “aba” 也是一个有效答案。 示例 2：

输入: “cbbd” 输出: “bb”

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-substring

目前已有的解法中「暴力算法」是基础，「动态规划」必须掌握，「中心扩散」方法要会写；
「Manacher 算法」仅用于扩宽视野，绝大多数的算法面试中，面试官都不会要求写这个方法（除非面试者是竞赛选手）。

本文只讨论动态规划和中心扩散两种解法

动态规划

初始状态：

• dp[i][i]=1; //单个字符是回文串
• dp[i][i+1]=1 if s[i]=s[i+1]; //连续两个相同字符是回文串

 string longestPalindrome(string s) {
        int len = s.size();
        if(len == 0 || len == 1){
            return s;
        }
        //状态转移数组
        //vector<vector<int>>dp(len, vector<int>(len));
        int dp[1001][1001] = {0};
        int start = 0;//记录回文子串的起始点
        int max = 1;//记录回文子串的长度
        //初始化状态数组
        //dp[i][i]初始化为1，即字符串s的每个字符都可以构成长度为1的回文子串
        //判断i和i+1上的字符是否相等，看是否构成长度为2的回文子串
        for(int i = 0; i < len ; i++){
            dp[i][i] = 1;
            if(i + 1 < len && s[i] == s[i + 1]){
                dp[i][i + 1] = 1;
                max = 2;
                start = i;
            }
        }
        //从长度为3到len，判断字符串s是否存在对应长度的回文子串
        for(int l = 3; l <= len ; l++){
            for(int i = 0; i + l - 1 < len; i++){
                int j = i + l - 1;//回文子串截止位置
                if(s[i] == s[j] && dp[i + 1][ j - 1]){//dp[i][j]的结果依赖于子问题dp[i + 1][j - 1]和s[i]==s[j]的结果
                    dp[i][j] = 1;
                    max = l;
                    start = i;
                }
            }
        }
        return s.substr(start, max);
    }

中心扩展法

回文中心的两侧互为镜像。因此，回文可以从他的中心展开，并且只有 2n-1 个这样的中心
（一个元素为中心的情况有 n 个，两个元素为中心的情况有 n-1 个）

  string longestPalindrome(string s){
        int start = 0;
        int end = 0;
        int max = 0;
        int len = s.size();
        if(len == 0 || len == 1){
            return s;
        }
        for(int i = 0; i < len; i++){
            int max1 = ExpandAroundCenter(s, i, i);
            int max2 = ExpandAroundCenter(s, i, i + 1);
            max = max > (max1 > max2? max1 : max2) ? max : (max1 > max2? max1 : max2);
            if(max > end - start + 1){
                start = i - (max - 1) / 2;
                end = i + max / 2;
            }
        }
        return s.substr(start, max);
    }
    int ExpandAroundCenter(string s, int left, int right){
        while(left >= 0 && right < s.size() && s[left] == s[right]){
            left--;
            right++;
        }
        return right - left - 2 + 1;
    }