Zimba_的博客

概述当式子优化到∑d=1n∑d∣is(i)\sum_{d=1}^{n}\sum_{d|i}s(i)∑d=1n​∑d∣i​s(i)类似形式时，我们可以o(nlogn)o(nlogn)o(nlogn)做。但是当nnn取10710^7107时就十分危险了，直到今天发现了这么个东西——Dirichlet 前缀和。它可以在o(nloglogn)o(nloglogn)o(nloglogn)的复杂度内解决这个问题，快近似o(n)o(n)o(n)了。这篇博客用来记板子，要学可以看这篇博客。Dirichlet 前缀和

背景：这课太无聊了，太吵学不进去，干脆写博客好了。题目:给定一个nnn，求∑i=1nμ(i)\sum_{i=1}^{n}\mu(i)∑i=1n​μ(i)和∑i=1nφ(i)\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)∑i=1n​φ(i)。(1≤n≤1010)(1\leq n\leq 10^{10})(1≤n≤1010)(某些积性函数前缀和)正文:如果不知道什么是积性函数出门左转隔壁教室。我们知道，μ\muμ函数和φ\varphiφ可以o(n)o(\sqrt{n})o(n​)...

前言：刚写完积性函数，今天两更，更完睡觉。 莫比乌斯函数μ(n)\mu(n)μ(n)：不知道迪利克雷卷积的去隔壁上课。怎么求莫比乌斯函数也在隔壁讲了。并且我们知道了u∗1=eu*1=eu∗1=e。 现在我们来学习怎么用莫比乌斯函数。没错，那就是莫比乌斯反演了。 莫比乌斯反演：什么是莫比乌斯反演？我们设fff为数论函数，fff的和函数的值为F(...

前言：早睡早起身体好！今天更一下积性函数。 积性函数的定义：什么是积性函数呢？（又叫乘性函数） 先讲一个更宽泛的概念，算术函数。（算术函数又称数论函数）算数函数，就是对所有正整数定义的函数，也就是定义域为正整数的函数。 而积性函数，则是一种特殊的算术函数。 对于函数f(x)f(x)f(x)，若满足f(1)=1f(1)=1f(1)=1，...

前言：断更太久，已经忘了博客怎么写了。。这篇博客用来介绍带整除式子的快速求解办法。 符号说明:⌊ab⌋\left \lfloor \frac{a}{b}\right \rfloor⌊ba​⌋ ：aaa除以bbb向下取整。⌈ab⌉\left \lceil \frac{a}{b}\right \rceil⌈ba​⌉ ：aaa除以bbb向上取整。∑i=1nf(...

前言：拖更了一天，这感觉太Nice了。于是在几乎打算断更的情况下艰难地写下了这篇博客。由于作者变懒了，今天没有好好学习，所以没有写欧拉筛的板子，也没有素数测试的板子，更没有大数分解的板子。但是我尽量都会提到他们。板子自寻吧，或者以后写了再补上。如果作者遭遇不测断更后，读者不知道学什么了，请认真打游戏，好好享受生活。  素数的检验：先讲一下什么是素数现在介绍如何检...

前言：今天更BSGS算法。俗称大步小步算法(Big-Step G…-Step)，又称拔山盖世、北上广深、白色狗屎 。  问题：求解指数同余方程：ax≡b(mod  p)a^{x}\equiv b(mod\; p)ax≡b(modp)的最小自然数解。  BSGS算法：模板题这个算法只考虑gcd(a,p)=1gcd(a,p)=1gcd(a,p)...

前言：本来想写BSGS算法，但是笔者今天想打游戏 感觉先写原根会更好一点，所以我们今天重点讨论一下什么是原根、哪些整数有原根、原根的性质和求解。 提要：为了减少后面的阅读障碍，先简单介绍一下欧拉函数φ(x)\varphi(x)φ(x)，主要部分后面放积性函数那介绍。(ps:书上符号写的是ϕ(x)\phi(x)ϕ(x)，但网上写的是φ(x)\varphi(x)φ(x)，不过这不重要...

前言：咳咳咳咳 ，最近瘟疫盛行，围观的记得要戴口罩。求解组合数的方法大家应该都见了很多了，这篇博客将围绕这个问题进行归纳和深入学习。 问题：给定n,k,pn,k,pn,k,p求解组合数Cnk(mod  p)C_{n}^{k}(mod\;p)Cnk​(modp)。  那么，什么是组合数？那么，我们先列举两种种简单的求解组合数的办法。 &n...

同余：（这里只讲整数的同余）101010除以777余数是333，171717除以777余数也是333，那么就称101010与171717在模777意义下同余，符号表示为  10≡17  (mod  7)\;10\equiv 17 \; (mod \; 7)10≡17(mod7)。 然后，很容易得到一些性质：自反性：a≡a  (mod  m)a\equiv a \; (mod \...

背景：这个定理又叫孙子定理，问题的提出最早在南北朝的《孙子兵法算经》里，“有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”，即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。  问题：求解同余方程组，形如：（盗图，版权意识薄弱，读书人的事情那能叫偷吗？）解决这个问题前，我们要清楚的一点。令M=lcm(m1,m2,…,mn)M=lcm(...

概要：首先来看它进化前的样子，也就是人尽皆知的欧几里得算法，用辗转相除法求gcd。ll gcd(ll a,ll b){ return b?gcd(b,a%b):a;}而拓展欧几里得，则是在欧几里得算法的应用上进行了拓展。它在求解gcd的基础上，额外解决了一个问题——求解二元不定方程的通解，即ax+by=max+by=max+by=m，其中aaa,bbb,mmm为已知，xxx,y...