HDU 1576 A/B（扩展欧几里得算法）

最新推荐文章于 2021-02-24 00:30:01 发布

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本文详细介绍了欧几里得算法及其扩展版本，用于求解最大公约数和线性方程的整数解。通过具体实例，展示了如何运用扩展欧几里得算法解决特定数学问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题解：

1.欧几里得算法：（辗转相除求gcd）
两个数都由几段两者的最小公倍数组成，
如果不停用大的/小的取余，当最后取余为0，说明小的那个数已经是只有一段了
就是最大公约数
------------------------
2. 取余的一种写法：
a%b = a-a/b*b //a/b*b可以把余数去掉
----------------------------------------------
3.扩展欧几里得算法：
用于求ax+by = gcd（a，b）的x，y的解

a*x1+b*y1 = gcd(a,b)
b*x2+(a%b)*y2 = gcd(b,a%b)

两个等式右边相等没问题吧

于是a*x1+b*y1 = b*x2+(a%b)*y2

然后用一下上面那个取余另一种写法，化简成
a*x1 + b*y1 = a*y2 + b（x2-[a/b]*y2）（用方括号，为了表示这是整除：example：【5/2】= 2）
对照得到：
x1 = y2
y1 = x2 - 【a/b】*y2

然后递归求解，到底后逐层向上，上一轮y就是这一轮x，y则需要根据上面结论计算一下

递归终点：if（b=0） gcd = a，x=1，y=0

代码：扩展欧几里得算法的代码

#define ll long long
void exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y)
{
    if (!b) {x=1;y=0;}
    else {
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y -= (a/b)*x;
    }
}

4.对于本题，设x，y，令：

A = 9973*x + n

B = 输入的B

y = A/B =（9973*x+n）/B

------>整理一下得到：-9973x + b*y = n

因为gcd（-9973，b） = 1，所以对于 -9973*x+b*y=1，算出y之后乘以n就是A/B了

（PS：其实可以不乘直接求就行了）

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
void exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y)
{
    if (!b) {x=a;y=0;}
    else {
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y -= (a/b)*x;
    }
}
int main()
{
    int t;
    ll n,b;
    scanf("%d",&t);
    while (t--){
        scanf("%lld %lld",&n,&b);
        ll x,y;
        exgcd(-9973,b,x,y);
        //printf("x=%lld y=%lld\n",x,y);
        printf("%lld\n",(y*n%9973+9973)%9973);
    }
    return 0;
}