关于莫比乌斯的两三事（持续更新）

从初识莫比乌斯反演，就陆陆续续地看了一些博客，每次都懂得差不多（可能没有频繁遇见相关题目吧），都没有一口气搞完，今天记录一下。希望无论是以后又忘记了的我，还是没有没有接触过的人，看了这篇博客有一些帮助。

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数对于小白来说，怎么得出来的，我觉得没必要搞清楚，了解就行。
莫比乌斯函数$\mu (x)$ 的定义是这样子的：
（1）当$x=1$时，$\mu (x)=1$.
（2）当$x$中任何质因数的次数都为1，$\mu (x)=(-1{)}^k,k$是质因数的个数.
（3）当$x$中存在一个质因数的次数大于1，$\mu (x)=0$.
语言抽象就看公式。
将$x$质因数分解，$x={p_1}^{m_1}\times {p_2}^{m_2}\times ....\times {p_n}^{m_n}$

(1) μ ( x ) = { 1 x = 1 ( − 1 ) k ∀ m i ∈ { 1 } , k = ∑ i = 1 n m i ( 换 句 话 说 k = n ) 0 x ∈ o t h e r   c a s e s \mu(x)=\begin{cases} 1 & x=1\\ (-1)^k & \forall m_{i} \in \{1\},k = \sum_{{i =1}}^n m_{i} (换句话说k=n)\\ 0 & x\in other\ cases \end{cases}\tag{1} μ(x)=⎩⎪⎨⎪⎧​1(−1)k0​x=1∀mi​∈{1},k=∑i=1n​mi​(换句话说k=n)x∈other cases​(1)
不需要搞清楚它怎么来的，因为它的条件较为简单，而且它只是一个工具。

现在我们已经有了莫比乌斯函数$\mu (x)$,就可以进行莫比乌斯反演。

莫比乌斯反演

啥时候用莫比乌斯反演

我们有一个函数$f(x)$,我们不方便求他的一个函数值$f(n)$时，莫比乌斯反演就提供了一种方向。

啥是莫比乌斯反演

我们定义一个函数$g(x)$。
如果$g(n)={\sum }_{d|n}f(d)$
可以得到$f(n)={\sum }_{d|n}\mu (d)g(\frac{n}{d})$，
如果$g(n)={\sum }_{n|d}f(d)$
可以得到$f(n)={\sum }_{n|d}\mu (\frac{d}{n})g(d)$
这便是反演的重要两个的公式。

证明：
由于函数$\mu (x)$的性质，所有$n$的因数中质因数的次数大于2的都为0.
等式左边就剩下
$g(n)-g(\frac{n}{p_1})-g(\frac{n}{p_2})...+g(\frac{n}{p_1{p}_2})+g(\frac{n}{p_1{p}_3})...+\mu (p_1{p}_2...p_n)g(\frac{n}{p_1{p}_2...p_n})$
对于$g(\frac{n}{p_1})$,由于减少了一个$p_1$,含有$p_1^{m_1}$的项全部消失了。
所以$g(\frac{n}{p_1})=g(n)-f(p_1^{m_1})-f(p_1^{m_1}{p}_2)-....-f(p_1^{m_1}{p}_2^{m_2})...-f(n)$
同理$g(\frac{n}{p_2})=g(n)-f(p_2^{m_2})-f(p_2^{m_2}{p}_1)-....-f(p_2^{m_2}{p}_1^{m_1})...-f(n)$
你可以观察到其中一些项重复了，例如$f(p_1^{m_1}{p}_2^{m_2})$,但是这种项在后面会消去，$g(\frac{n}{p_1}\frac{n}{p_2})$就会出现和$g(\frac{n}{p_1})$符号相反的项$f(p_1^{m_1}{p}_2^{m_2})$。你可以忽略细节，整体上地看做$g(n)-g(\frac{n}{p_1})-g(\frac{n}{p_2})...+g(\frac{n}{p_1{p}_2})+g(\frac{n}{p_1{p}_3})...+\mu (p_1{p}_2...p_n)g(\frac{n}{p_1{p}_2...p_n})=g(n)-[g(n)-f(n)]=f(n)$。
这是利于小白理解的版本。

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(由于本蒟蒻没有任何数论基础全靠自己查资料理解的，可能写得不太好，但我会把我之前不好理解的东西尽可能讲清楚)

想比较清楚地搞懂，如果要我们还得引入一个东西叫狄利克雷卷积
定义卷积操作为*,对于两个函数$f(x),g(x)$，卷积操作：
$(f\ast g)(x)={\sum }_{i\ast j=n}f(i)g(j)$或者写作$(f\ast g)(x)={\sum }_{d|x}f(d)g(\frac{x}{d})$
性质
交换律 $f\ast g=g\ast f$
结合律 $f\ast g\ast h=f\ast (g\ast h)$
加法分配率 $f\ast (g+h)=f\ast g+f\ast h$

那么证明来了：

（1）重新认识莫比乌斯函数

积性函数

如果函数$f$满足$f(p\times q)=f(p)\times f(q)(p,q为质数)$的函数为积性函数，当$p,q$为任意数都成立时，函数为完全积性函数，这是积性函数和完全积性函数的定义。
先记住这个，后面有用。

我们拥有狄利克雷卷积之后会发现有一个卷积单位元$I(n)$:
我们知道“x操作”单位元是，任意一个可进行“x操作”的元素$\Psi$(可以是函数)与“x操作”单位元进行“x操作”都会得到$\Psi$。
$I(n)$有性质，$(I\ast f)(n)=f(n)$，展开有$f(n)={\sum }_{d|n}I(d)f(\frac{n}{d})$。显然的$I(n)$是一个分段函数：
$$I(n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& n>1\end{array}$$
大佬们都这么$I(n)=[n=1]$我是真的看半天看不懂。

有了卷积单位元后，我们再来说道说道卷积逆元。顾名思义，就卷积操作下的逆元。卷积操作的逆元与乘法逆元不同，乘法逆元是$a\times b=1$,那么$b$就是$a$的乘法逆元。卷积逆元是$(f\ast p)(n)=I(n)$,$p$是$f$的逆元,我们定义的$f$卷积逆元为$f^{-1}$，请记住，积性函数的卷积逆元也是积性函数。

逆元$f^{-1}$的求法我们来推一下:
(1)$n=1,f^{-1}(1)=\frac{1}{f(1)}$
(2)$n>1$,$(f\ast f^{-1})(n)=I(n)=0$$\Rightarrow$ $f(1)\times f^{-1}(n)=-{\sum }_{d|n}{f}^{-1}(d)f(\frac{n}{d})(d̸=n)$ $\Rightarrow$ $f^{-1}(n)=\frac{-{\sum }_{d|n,d̸=n}{f}^{-1}(d)f(\frac{n}{d})}{f(1)}$

我们来看看一个特殊的常数函数$\xi (n)$,$\xi (n)=1$，显然，这是一个完全积性函数，那么也就是说${\xi }^{-1}$是一个积性函数。
我们来看一看它的卷积逆元${\xi }^{-1}$是怎样的形式：
$(\xi \ast {\xi }^{-1})(n)=I(n)$
展开得到$\xi (1)\times {\xi }^{-1}(1)=1(n=1)$和${\sum }_{d|n}t(d)\xi (\frac{d}{n})=0(n>1)$

显然了${\xi }^{-1}(1)=1(n=1)$.
当$n>1$利用逆元公式${\xi }^{-1}(n)=\frac{-{\sum }_{d|n,d̸=n}{\xi }^{-1}(d)\xi (\frac{n}{d})}{\xi (1)}=-{\sum }_{d|n,d̸=n}{\xi }^{-1}(d)\xi (\frac{n}{d})$

如果r为质数，
${\xi }^{-1}(r)=-\frac{\xi (r)\times {\xi }^{-1}(1)}{\xi (1)}=-(\frac{1\times 1}{1})=-1$
${\xi }^{-1}(r^2)=-\frac{\xi (r^2)\times {\xi }^{-1}(1)+\xi (r)\times {\xi }^{-1}(r)}{\xi (1)}=-(\frac{1\times 1+1\times (-1)}{1})=0$
${\xi }^{-1}(r^3)=-\frac{\xi (r^3)\times {\xi }^{-1}(1)+\xi (r^2)\times {\xi }^{-1}(r)+\xi (r)\times {\xi }^{-1}(r^2)}{\xi (1)}=-(\frac{1\times 1+1\times (-1)+1\times 0}{1})=0$
$⋮$
$⋮$

观察可知，当r的次数大于等2时，最公式代换必然分子是$1\times 1+1\times (-1)+\underset{r-2}{0,\cdot \cdot \cdot ,0}=0$
由于${\xi }^{-1}$的积性，在${\xi }^{-1}(n)$的$n$是可以分解为$k$个互异质数时，${\xi }^{-1}(n)=(-1{)}^k$,否则
${\xi }^{-1}(n)=0$。
写成函数表达式
$${\xi }^{-1}(n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ (-1{)}^k& n={p_1}^{m_1}\times {p_2}^{m_2}\times ....\times {p_n}^{m_n},\forall m_i=1\\ 0& oherwise\end{array}$$
是不是很眼熟？
对${\xi }^{-1}$就是莫比乌斯函数$\mu$，其实莫比乌斯函数就是$\xi (n)=1$的卷积逆元。

那么证明正式开始：
联立

$$\{\begin{array}{ll}g=f\ast \xi & \\ f\ast I=f& \\ I=\mu \ast \xi & \end{array}$$
$f=\mu \ast g$
证毕
当$g(n)={\sum }_{d|n}f(d)$时，$f=\mu \ast g$展开为：$f(n)={\sum }_{d|n}\mu (d)g(\frac{n}{d})$
当$g(n)={\sum }_{n|d}f(d)$时，$f=\mu \ast g$展开为：$f(n)={\sum }_{n|d}\mu (\frac{d}{n})g(d)$
完全一致！！！
代码日后自己追加（艾玛，手动敲公式累死我了）