C++ 算法篇 位运算

学习目标

1. 理解与掌握 C++ 中的位运算。

2. 灵活应用位运算优化程序。

任何信息在计算机中都是采用二进制表示的，数据在计算机中是以补码形式存储的，位运算就是直接对整数在内存中的二进制位进行运算。由于位运算直接对内存数据进行操作，不需要转换成十进制，因此处理速度非常快，在信息学竞赛中往往可以优化理论时间复杂度的系数。同时，一个整数的各个二进制位互不影响，利用位运算的一些技巧可以帮助我们简化程序代码。

一、位运算符

C++ 提供了按位与（&）、按位或（| ）、按位异或（^）、取反（~）、左移（<<）、右移（>>）这 6 种位运算符。 这些运算符只能用于整型操作数，即只能用于带符号或无符号的 char、short、int 与 long 类型。

（1）按位与运算符（&）

“a&b”是指将参加运算的两个整数a和b，按二进制位进行“与”运算。
参加运算的两个数据，按二进制位进行“与”运算。
运算规则：0&0=0; 0&1=0; 1&0=0; 1&1=1;
即：两位同时为“1”，结果才为“1”，否则为0
例如：3&5 即 0000 0011& 0000 0101 = 00000001 因此，3&5的值得1。
另，负数按补码形式参加按位与运算。

按位与&比较实用的例子：
1、比如我们经常要用的是否被2整除，一般都写成 if(n % 2 ＝＝ 0) 可以换成 if((n&1) ＝＝ 0)
2、按位与运算可以取出一个数中指定位。例如：要取出整数84从左边算起的第3、4、5、7、8位，只要执行84 & 59,因为84对应的二进制为01010100，59对应的二进制为00111011，01010100 & 00111011= 00010000 可知84从左边算起的第3、4、5、7、8位分别是0、1、0、0、0。
3、清零。如果想将一个单元清零，使其全部二进制位为0，只要与一个各位都为零的数值相与，结果为零。

（2）按位或运算符（|）

参加运算的两个对象，按二进制位进行“或”运算。
运算规则：0|0=0； 0|1=1； 1|0=1； 1|1=1；
即 ：参加运算的两个对象只要有一个为1，其值为1。
例如:3|5　即 00000011 | 0000 0101 = 00000111 因此，3|5的值得7。　
另，负数按补码形式参加按位或运算。

按位或 （|） 比较实用的例子

可以用一个unsigned int 来存储多个布尔值。比如一个文件有读权限，写权限，执行权限。看起来要记录3个布尔值。我们可以用一个unsigned int也可以完成任务。

一个数r来表示读权限，它只更改个位来记录读权限的布尔值
00000001 (表示有读权限)
00000000 (表示没有读权限)

一个数w表示写权限，它只用二进制的倒数第二位来记录布尔值
00000010 (表示有写权限)
00000000 (表示没有写权限)

一个数x表示执行权限，它只用倒数第三位来记录布尔值
00000100 (表示有执行权限)
00000000 (表示没有执行权限)

那么一个文件同时没有3种权限就是
~r | ~ w | ~ x 即为 00000000，就是0
只有读的权限就是
r | ~w | ~x 即为 00000001，就是1
只有写的权限就是
~r | w | ~x 即为 00000010，就是2
一个文件同时有3种权限就是
r | w | x 即为 00000111，就是7

（3）按位异或运算符（^）

参加运算的两个数据，按二进制位进行“异或”运算。
运算规则：0 ^ 0=0； 0 ^ 1=1； 1^ 0=1； 1^1=0；
即：参加运算的两个对象，如果两个相应位为“异”（值不同），则该位结果为1，否则为0。

下面重点说一下按位异或,异或 其实就是不进位加法,如1+1=0，,0+0=0,1+0=1。
异或的几条性质:
1、交换律:a ^ b=b ^ a
2、结合律:(a ^ b) ^ c == a^ (b ^ c)

“异或运算”的特殊作用：
（1）使特定位翻转: 例：X=10101110，使X低4位翻转，用X ^ 0000 1111 = 1010 0001即可得到。
（2）与0相异或，保留原值 ，10101110^ 00000000 = 1010 1110。
（3）对于任何数x都有――自反性:x^ x=0，x^ 0=x 例如：A^B ^ B = A
（4）交换二个数：a =a ^ b; b = b ^ a; a = a ^ b;

按位异或应用举例1:

给出 n 个整数，n 为奇数，其中有且仅有一个数出现了奇数次，其余的数都出现了偶数次。用线性时间复杂度、常数空间复杂度找出出现了奇数次的那个数。
【输入样例】
9
3 3 7 2 4 2 5 5 4
【输出样例】
7

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
   
      int i,n,m,a;
    cin