二分法求多项式单根 (20分)

本文介绍如何运用二分法求解3阶多项式f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0在特定区间[a, b]内的唯一单根。算法首先检查区间长度,若小于给定阈值则输出中点值,否则根据函数值在中点的符号调整搜索区间,直至找到根。示例中输入为系数和区间端点,输出为精确到小数点后2位的根。关键在于处理最后可能无限接近于零的情况。" 117511329,9490870,寻找具有相同0和1的最长连续子数组,"['数组处理', '二进制操作', '动态规划']

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二分法求多项式单根 (20分)

二分法求函数根的原理为:如果连续函数f(x)在区间[a,b]的两个端点取值异号,即f(a)f(b)<0,则它在这个区间内至少存在1个根r,即f(r)=0。

二分法的步骤为:

  • 检查区间长度,如果小于给定阈值,则停止,输出区间中点(a+b)/2;否则
  • 如果f(a)f(b)<0,则计算中点的值f((a+b)/2);
  • 如果f((a+b)/2)正好为0,则(a+b)/2就是要求的根;否则
  • 如果f((a+b)/2)与f(a)同号,则说明根在区间[(a+b)/2,b],令a=(a+b)/2,重复循环;
  • 如果f((a+b)/2)与f(b)同号,则说明根在区间[a,(a+b)/2],令b=(a+b)/2,重复循环

本题目要求编写程序,计算给定3阶多项式f(x)=a​3​​x​3​​+a​2​​x​2​​+a​1​​x+a​0​​在给定区间[a,b]内的根。

输入格式:

输入在第1行中顺序给出多项式的4个系数a​3​​、a​2​​、a​1​​、a​0​​,在第2行中顺序给出区间端点a和b。题目保证多项式在给定区间内存在唯一单根。

输出格式:

在一行中输出该多项式在该区间内的根,精确到小数点后2位。

输入样例:

3 -1 -3 1
-0.5 0.5

输出样例:

0.33

思路:

难点在于最后一个测试点,只要判断一下根是不是无限接近于零即可。
在这里插入图片描述

代码:

#include<stdio.h>
#include<math.h>
double
### 使用二分法多项式单根 #### 方法概述 二分法是一种基于区间割的数值方法,适用于连续函数在一个闭区间上只有一个实数根的情况。其基本原理是不断缩小区间范围,直到满足精度要为止。对于多项式 $ f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0 $ 的单根问题,在已知区间 $[a, b]$ 上如果满足 $f(a) \cdot f(b) < 0$,则该区间内必然存在一个实数根。 以下是具体的算法描述: 1. 定义多项式的系数数组 `coeff` 和目标区间的两个端点 $a$ 和 $b$。 2. 计算多项式在两端点处的值 $f(a)$ 和 $f(b)$。 3. 如果 $f(a) \cdot f(b) > 0$,说明区间内无根或有多重根,则需重新定义区间[^3]。 4. 否则进入循环,计算中间点 $c = (a+b)/2$ 并判断: - 若 $|f(c)|$ 小于设定的误差阈值 $\epsilon$ 或者 $(b-a)/2 < \delta$(其中 $\delta$ 是允许的最大步长),返回 $c$ 作为近似根; - 若 $f(a) \cdot f(c) < 0$,更新右边界 $b=c$; - 否则更新左边界 $a=c$。 #### 示例代码实现 下面是一个 Java 实现的例子,用于解任意次数多项式单根: ```java public class PolynomialRootFinder { public static double evaluatePolynomial(double[] coeff, double x) { double result = 0; int n = coeff.length; // Number of coefficients for (int i = 0; i < n; i++) { result += coeff[i] * Math.pow(x, n - 1 - i); // Calculate polynomial value at x } return result; } public static double findSingleRoot(double[] coeff, double a, double b, double epsilon) { if (evaluatePolynomial(coeff, a) * evaluatePolynomial(coeff, b) >= 0) { System.out.println("The interval does not bracket a root."); return Double.NaN; } while ((b - a) / 2 > epsilon) { // Continue until the interval is small enough double c = (a + b) / 2; // Midpoint double fc = evaluatePolynomial(coeff, c); if (fc == 0 || (b - a) / 2 < epsilon) { // Root found or precision reached return c; } else if (evaluatePolynomial(coeff, a) * fc < 0) { b = c; // Narrow to left half } else { a = c; // Narrow to right half } } return (a + b) / 2; // Return midpoint as approximation } public static void main(String[] args) { double[] coeff = {-6, 11, -6, 1}; // Coefficients of x^3 - 6x^2 + 11x - 6 double a = 1.5, b = 2.5, epsilon = 1e-7; double root = findSingleRoot(coeff, a, b, epsilon); if (!Double.isNaN(root)) { System.out.printf("Approximate root: %.7f\n", root); } } } ``` 上述程序实现了以下功能: - **`evaluatePolynomial` 函数**:根据给定的多项式系数和变量值 $x$,计算多项式的值。 - **`findSingleRoot` 函数**:采用二分法查找指定区间内的单根,并控制误差小于预设阈值 $\epsilon$。 - **主函数部**:设置了一组测试数据来验证算法的有效性。 #### 注意事项 1. 输入的多项式必须在其所选区间上有且仅有一个实数根,否则可能导致错误的结果或者无限循环。 2. 需要合理调整参数 $\epsilon$ 来平衡精确度与运行时间之间的关系。
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