2019牛客暑期多校训练营（第一场）----F-Random Point in Triangle

首先发出题目链接：
链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/F
来源：牛客网
涉及：概率期望

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题目如下：


题目好水啊

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首先将${△}_{ABC}$这样分解，如图所示

解释一波：

$A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$分别为$AB,AC,BC$的中点，$O$为${△}_{ABC}$的重心

$h_1,h_0,h_2$分别为${△}_{A{A}^{\prime }{B}^{\prime }},{△}_{A^{\prime }{B}^{\prime }O},{△}_{OBC}$的高，且$h_0+h_1+h_2$为${△}_{ABC}$的高

$O_1,O_2$分别为${△}_{A{A}^{\prime }{B}^{\prime }},{△}_{A^{\prime }{B}^{\prime }O}$的重心

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首先确定一点：若P落在四边形$A{A}^{\prime }O{B}^{\prime }$内，那么 m a x { S A P B , S B P C , S C P A } = S B P C max\left\{S_{APB},S_{BPC},S_{CPA}\right\}=S_{BPC} max{SAPB​,SBPC​,SCPA​}=SBPC​

然后再来判断$h_0,h_1,h_2$之间的关系：
由于${△}_{A^{\prime }{B}^{\prime }O}$与${△}_{BCO}$相似，且$2|O{A}^{\prime }|=|OC|$，故$h_2=2h_0$;
由于$h_1=h_0+h_2$，故$h_1=3h_0$

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1.考虑P点落在${△}_{A{A}^{\prime }{B}^{\prime }}$内

如图所示，P点落在${△}_{A{A}^{\prime }{B}^{\prime }}$中时，$S_{PBC}$的期望刚好是$S_{O_{1}BC}$

此时$$E_{S_{PBC}}=S_{O_{1}BC}=\frac{1}{2}(h_0+h_0+2h_0)|BC|=2h_0|BC|$$
　
2.考虑P点落在${△}_{O{A}^{\prime }{B}^{\prime }}$内

如图所示，P点落在${△}_{O{A}^{\prime }{B}^{\prime }}$中时，$S_{PBC}$的期望刚好是$S_{O_{2}BC}$

由于${△}_{O_2{A}^{\prime }{B}^{\prime }}$的高为$\frac{1}{3}{h}_0$，所以${△}_{O_{2}BC}$的高为$(h_0-\frac{1}{3}{h}_0+2h_0)=\frac{8}{3}{h}_0$

此时$$E_{S_{PBC}}=S_{O_{2}BC}=\frac{1}{2}\ast \frac{8}{3}{h}_0|BC|=\frac{4}{3}{h}_0|BC|$$

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由于$3S_{A^{\prime }{B}^{\prime }O}=S_{A{A}^{\prime }{B}^{\prime }}$，所以P点落在${△}_{A{A}^{\prime }{B}^{\prime }}$的概率为$\frac{3}{4}$，落在${△}_{O{A}^{\prime }{B}^{\prime }}$的概率为$\frac{1}{3}$

所以P点落在四边形$A{A}^{\prime }O{B}^{\prime }$的期望$E_{A{A}^{\prime }O{B}^{\prime }}$
$$E_{A{A}^{\prime }O{B}^{\prime }}=\frac{1}{4}{S}_{O_{2}BC}+\frac{3}{4}{S}_{O_{1}BC}=\frac{11}{6}{h}_0|BC|$$

而P点落在四边形$A{A}^{\prime }O{B}^{\prime },A^{\prime }O{C}^{\prime }B,B^{\prime }O{C}^{\prime }C$的概率是相同的。
所以
$$E=E_{A{A}^{\prime }O{B}^{\prime }}=\frac{11}{6}{h}_0|BC|=\frac{11}{18}{S}_{ABC}$$
而
$$36E=22S_{ABC}$$

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注意，答案是long long类型，在算期望的过程中也要注意类型转换！！

已知三点坐标为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$，则三角形面积
$$S=|(x_2-x_1)\ast (y_3-y_1)-(y_2-y_1)\ast (x_3-x_1)|$$

注意$(x_2-x_1)\ast (y_3-y_1)$和$(y_2-y_1)\ast (x_3-x_1)$都是long long类型

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代码如下：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){
	int x1,x2,x3;
	int y1,y2,y3;
	while(~scanf("%d%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&x3,&y3)){
		ll ans=(ll)(x2-x1)*(y3-y1)-(ll)(y2-y1)*(x3-x1);//面积与三点坐标的公式求面积
		printf("%lld\n",(ll)abs(ans)*11);//答案为22倍三角形面积
	}
	return 0;
}